什么是利萨如图？

化身孤岛的鲸

2018年7月27日 11:03

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利萨如图（Lissajous-Figure）是把空间位置上两个互相垂直的信号，一个作为X轴，一个作为Y轴进行合成得到的图形，因而也称为XY图。由于是两个相互垂直的信号叠加，利萨如图最为典型的应用是轴心轨迹测量。

1. 利萨如图的定义

利萨如图是把两个空间位置互相垂直的信号叠加，一个作为X轴，一个作为Y轴合成得到的图形。两个互相垂直的信号具有不同的幅值比、频率比以及相位差会形成复杂形状的图形，如图1所示。一般情况下，图形是不稳定的，但当两个振动信号的频率成整数比时，它们就形成较稳定的图形。

图1 不同形状的利萨如图

利萨如图最为简单的情况是两个相互垂直的简谐波的叠加，如典型应用为轴心轨迹的测量。轴心轨迹显示了旋转的转子轴心相对于轴承座涡动运动的轨迹。在忽略振动的情况下，利用轴心轨迹图显示轴心相对与轴承中心的稳态位置，从而可以看出轴承的偏位角、偏心距、最小油膜的厚度，从而判断转子运行是否平稳。在正常的情况下，轴心轨迹为椭圆形。若轴心轨迹的形状、大小重复性好，则表明转子是稳定的。对中不良时，为香蕉状，严重时为8字形；摩擦时，多处出现锯齿尖角或小环；轴承间隙或刚度差异过大时，为一个很扁的椭圆；瓦块安装间隙相互偏差较大时，会出现明显的凹凸状。转子发生亚异步自激振动时，其轴心轨迹往往很不稳定，不仅形状及大小时刻在发生较大的变化，而且还会出现大圈套小圈的情况。

轴心轨迹图有原始、提纯、平均、一倍频、二倍频、0.5倍频等多种轴心轨迹，主要看提纯、一倍频、二倍频的轴心轨迹图。这是因为转子振动信号中不可避免地包含了噪声、电磁信号干扰等超高次谐波分量，使得轴心轨迹的形状变得十分复杂，有时甚至是非常地混乱。而提纯的轴心轨迹排除了噪声和电磁干扰等超高次谐波信号的影响，突出了工频、0.5倍频、二倍频等主要因素，便于清晰地看到问题的本质；一倍频轴心轨迹则可以更合理地看出轴承的间隙及刚度是否存在问题，因为不平衡量引起的工频振动是一个弓状回转涡动，工频的轴心轨迹就应该是一个圆或长短轴相差不大的椭圆，而如果轴承间隙或刚度存在方向上的较大差异，那么工频的轴心轨迹就会变成一个很扁、很扁的椭圆，从而把同为工频的不平衡故障和轴承间隙或刚度差异过大很简便地区别开来；二倍频轴心轨迹则可以看出严重不对中时的影响方向等。因此，利用轴心轨迹可以判断出转子的一些故障特征。

除了用于轴心轨迹测量之外，利萨如图法还可用于测量简谐振动的频率，如测量结构的固有频率。如两个信号分别为激励信号和加速度响应信号，结构共振时，二者的激励频率相等，相位相差90度，X轴信号和Y轴信号的相位差为90度。根据利萨如图原理可知，两个信号合成的利萨如图是一个正椭圆。当激励频率ω略大于固有频率ω_n或略小于固有频率ω_n时，图形都将由正椭圆变为斜椭圆，其变化过程如图2所示。因此，图形由斜椭圆变为正椭圆的频率就是振动结构的固有频率。当然响应信号也可以为位移或速度传感器，那么，相应的利萨如图也会发生变化。

图2 用加速度判别共振的利萨如图形状变化过程

2. 相关理论

对于利萨如图来说，是两个相互垂直的信号叠加，简单起见，在这仅介绍最为简单的两个相互垂直的简谐波叠加。

假设两个相互垂直的简谐波方程为：

其质点轨迹的运动方程式为：

对于不同的波形参数（A，ω，φ），所合成的波形也各不同。

1）当ω₁=ω₂, φ₁=φ₂时，φ₂-φ₁=0，此时轨迹方程为

合成波形的轨迹是一条直线，直线通过坐标原点，斜率为两个幅值之比即A₂/A₁。

2）当ω₁=ω₂，A₁=A₂，φ₂-φ₁=φ时，轨迹方程为

当φ=0时：方程为(x-y)²=0，轨迹为直线；

当φ=π/4时：方程为x²-√2xy+y²= A₁²/2，轨迹为椭圆；

当φ=π/2时：方程为x²+y²= A₁²，轨迹为圆；

当φ=3π/4时：方程为x²+√2xy+y²= A₁²/2，方程为椭圆；

当φ=π时：方程为(x+y)²=0，轨道为直线。

以上轨迹见图3：

图3 轴心轨迹

3）当ω₁≠ω₂、A₁=A₂、φ₂-φ₁=φ时，假设ω₁/ω₂=n，当n与φ取值不同时，相应的利萨如图如图4所示。当ω₁与ω₂差任意倍、A₁≠A₂时，合成波形更为复杂。如图5为两个同幅值，但频率比为99：101的利萨如图。

图4 不同频率比与相位差下的利萨如图

图5 频率比为99：101的利萨如图

3. 轴心轨迹的测量

由于被测量的转子处于旋转状态，因此轴心轨迹测量通常采用非接触式的位移传感器，常用的位移传感器有电涡流位移传感器，如图6所示。电涡流传感器是基于高频磁场在金属表面的“涡流效应”而成，可进行非接触测量，具有抗干扰能力强，灵敏度高，使用方便等优点，可直接把机械变化量转变成为电压的变化量。电涡流式位移传感器由探头和前置放大器组成，探头对着转子被测表面，但并不接触，留有一定的间隙，用支架固定在轴承的瓦座上或机壳上，通过延长电缆与前置放大器相连。