浅析信号处理：人们认识信号本质的大飞跃

信号处理从最早的时域统计到Fourier变换的频域分析，是人们认识信号本质的一次巨大飞跃，信号分析的角度从时域转变到频域。傅里叶真正得到广泛应用是在fft算法的出现后，关于Fourier变换理论，课程介绍的太多了，就不一一介绍了。

信号的傅里叶分析图

下面，说说傅里叶变换的缺点，考虑下面一个信号s(t)：

信号s(t)，初始频率较高，中间频率较低，Fourier变换中包含了这些信息，但是却无法指示高频、低频发生的时间。Fourier变换作为一个全局变换，天然的少了另一个维度（时域），如果将时间域信号比作一个平面中的物体的话，那么频域信号也同样是一个平面中的物体，只是给我们换了一个角度而已，而人们总是希望能对三维世界的物体更具有直观了解。信号也一样，工程人员总是想知道信号有哪些频率，且这些频率在何时产生，而这个需求就给分析方法提出了一个要求，必须多一个维度，也就是给出信号的时频域信息。

需求促成技术的突破。这时短时傅里叶变换 (SIFT) 便出现了，这个信号分析带来了时频分析的概念，而其优点是同时给了我们时间和频率的信息。其方法的形象化的描述就是“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再做Fourier变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了。

下面信号s(t) 被分解为4个时间段，其分别对应的fft结果如下。这样，我们可以知道在每段时间信号的频率信息。

短时Fourier变换选Gauss窗函数一般被称为Gabor变换。选高斯窗的原因在于：

• Gauss函数的Fourier变换仍是高斯函数，这使得Fourier逆变换也用窗函数局部化了，同时体现了频率域的局部化；

• 根据Heisenberg测不准原理，Gauss函数窗口面积已达到测不准原理下界，是时域窗口面积达到最小的函数，即Gabor变换是最优的STFT。

数学上的描述是将Fourier变换的核函数修改了一下，Gabor变换的基函数为

Gabor变换的定义为

Gabor变换是两个变量t 和ω 的函数，即它是一种时频变换。g(τ−t) 函数充当时间滤波器，用于在特定的时间窗口上定位信号。对参数进行积分τ 滑动时间滤波窗口下的整个信号，以便在每一时刻提取频率信息。

但由于一旦窗口函数选定后，时频窗口的形状便保持不变，割断了频率与窗口宽度的内在联系，Gabor变换实质是具有单一分辨率的分析。

举个例子，构建三种Gauss窗函数：

利用一种窗函数对信号s(t) 进行STFT变换提取局部频域信息和时域信息。

再看看不同形状窗口下的时频分析图：

左上图有较好的时间分辨率但却损失了频率分辨率，右下图在频域上有很好的分辨率，但无法在时间上准确的定位信号。

因此，Gabor变换在一定程度上解决了局部分析的问题，但对于突变信号和非平稳信号仍难以得到满意的结果，即Gabor变换仍存在着较严重的缺陷。

• Gabor变换的时频窗口大小、形状不变，只有位置变化，而实际应用中常常希望时频窗口的大小、形状要随频率的变化而变化，因为信号的频率与周期成反比，对高频部分希望能给出相对较窄的时间窗口，以提高分辨率，在低频部分则希望能给出相对较宽的时间窗口，以保证信息的完整性，总之是希望能给出能够调节的时频窗；

• Gabor变换基函数不能成为正交系，因此为了不丢失信息，在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基，这就增加了不必要的计算量和存储量。

为了解决这些问题，小波变换诞生了。小波直接把Fourier变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了。小波将时频分析推向了研究高潮，这一时期小波理论不断发展，出现了许多小波，db系列小波，coif系列小波等等。可以看出来，小波研究都是基于小波基函数的研究，它不像傅里叶变换一样，基是固定的，而小波基函数有很多形式。这种灵活性给了小波广泛的运用优势。

在STFT基础上，不妨假设窗函数具有抽象的形式

它是ψ(t) 经平移和放缩的结果。引入形如ψa,b(t) 的窗函数，在a 自动改变的情况下，它能够对低频和高频信号起到自适应的短时分析效果。

因此可以定义连续小波变换 (CWT)

小波满足条件

不像Fourier变换用sin、cos函数来表示信号，而是利用有限长的会衰减的小波基来表示信号。第一个构造的小波是Haar小波。

从上图可以看出，在定位信号方面，haar小波比Fourier变换更有效，然而在频域却有较差的定位性能，因为它在sinc函数一样衰减，这也是Heinsenberg不确定原理导致的。然后改变母小波基的a、b参数，可实现对整个信号的时频分析。

这张图反映了四种方法的特点：

• 时序分析在时域内实现了好的分辨率，但没有频率信息；

• 在傅里叶变换中，频域被很好的解决但损失了时域信息；

• Gabor变换在时频域内都有一定的分辨率，每一小格的面积却固定；

• 小波变换拥有多分辨率的能力，开始于较大的频域窗口，不断改变时频窗的大小，直到达到期望的时频分辨率。

离散小波变换

在实际应用中，通常将ψa,b(t) 中的a、b取为整数离散的形式，表示为

相应的小波变换称为离散小波变换。

ψm,n(ω)的频窗中心为ω*；ψm,n(ω)的频窗半径为Δω。

经过ψm,n(t)作用的小波变换实际上把信号f(t) 的频率范围限制在[ω*-Δω，ω*+Δω]自频带内，小波变换的结果是这个频带内的时域分量。

小波变换不像Fourier变换那样把时域信号变视为若干个精确的频率分量之和，而是将其变视为若干描述子频带的时域分量之和。

考虑两个问题：

• 一是如何将时域信号分解为代表子频段特点的时域分量之和，这些时域分量正是小波变换所确定的。

• 二是如何确定构造小波函数的统一方法。

数学上把能量有限的信号（函数）的集合记为L²(R)，L²(R) 是一个无穷维的函数线性空间，空间中有无穷个线性无关的向量，{Φ(t)}1^inf(t) 构成L²(R)的基函数族。更进一步考虑基函数族的正交性。正交性非常重要，像Fourier展开中计算系数。

同样， L²(R)空间中也有子空间的概念。设Wm和Wn是L²(R) 的两个子空间，若对任意的f(t)∈Wm，g(t) ∈Wn，f(t) 与g(t) 正交，则称Wm和Wn是正交子空间。

设Vj ⊂ L²(R)，Wj ⊂ L²(R)，Vj +1 ⊂ L²(R)，若Vj +1= Vj + Wj ，则称Wj 是Vj 在Vj +1中的补子空间，若Wj 和Vj 还是正交的，则称为正交补空间。

多分辨率分析 (MRA) 是理解和构造小波的统一框架，比较复杂，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。

说一下一些重要的结论，MRA确定了L²(R)的子空间直和分解关系。

任意一个信号f(t)∈L²(R) 的频率被分割成若干互不重叠的子频带的直和，也就是说f(t) 在多分辨率分析的框架下被分解为若干表示子频带的分量W ^j(t) 的直和。

同时还有小波变换的快速算法，Mallat塔式算法