什么是希尔伯特变换？

来源：模态空间   作者：谭祥军

在进行包络分析时，首先需要对实值的时域信号进行希尔伯特变换，将其相位移动90度，变换成一个纯虚数，然后再与实值的时域信号组成一个复值的解析信号。由于在希尔伯特变换的过程中涉及到相量、解析信号等概念，因此，首先，我们需要明白这两个基本概念。

为了直观地表明简谐运动的三个基本特征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动：

l  旋转矢量的长度等于振动幅值A；

l  矢量在平面内绕原点以角速度ω作逆时针匀速旋转；

l  在t=0时刻，矢量与x轴正向的夹角等于初相位φ。

则在任一时刻t，该矢量与x轴正向的夹角为ωt+φ，矢量末端在x轴上的投影的长度为时间的余弦函数

x(t)=Acos(ωt+φ)

因此，旋转矢量的末端在x轴上的投影点的运动是简谐运动，如图1所示。

在物理和工程领域，经常会用到名词相量（Phasor），它实际上是上述旋转矢量的扩展，上述旋转矢量是在实数范围内描述。而相量是在复平面内描述一个旋转的位置矢量，是相位向量的混合词，也具有上述类似的特征。在复平面内，相量是一个位置矢量，原点是复平面的零点，而终点以恒定的速度作圆周运动，终点到原点的距离是恒定的，因此，它的运动轨迹在复平面上是一个圆。随着圆周运动的进行，相量在实轴上的投影的长度是一个随时间变化的向量，这个向量的长度是时间的余弦信号。因此，相量是一个余弦信号的时变复数描述。

根据欧拉公式，有

A·exp(+j(ωt+φ))=Acos(ωt+φ)+j·Asin(ωt+φ)

因而，有

Acos(ωt+φ)=A/2·exp(+j(ωt+φ))+A/2·exp(-j(ωt+φ))

这表明余弦信号数学上可表示成两个复值函数之和。实旨上，上式也表明了一个余弦（或正弦）信号的傅立叶变换是一个双边频：存在正负相同的频率成分，但两个频率处的幅值为原来幅值的一半。

或者，余弦信号也可以表示成欧拉公式的实部，即

Acos(ωt+φ)=Re{A·exp(+j(ωt+φ))}=Re{A exp(jφ))·exp(jωt)}

我们知道，在复平面，函数A·exp(+j(ωt+φ))是一个长度为A的旋转矢量，轨迹是一个半径为A的圆，如图2所示，我们称这个函数是一个相量。

图2 相量实例

相量在复平面的实轴上的投影是一个随时间变化的余弦函数，投影的长度就是这个余弦函数的幅值，相量旋转的角频率是这个余弦函数的角频率，相量在初始位置与实轴正向的夹角是余弦函数的初相位。因此，实值的余弦信号可以写成两个长度相同、频率相同、初相位相反，旋转方向相反的相量之和，即：

Acos(ωt+φ)=A/2·A·exp(+j(ωt+φ))+ A/2·A·exp(-j(ωt+φ))

定义

那么，任何时刻这两个相量之和是一个沿实轴方向长度随时间变化的向量，如图3所示，这个向量也就是一个实值的余弦函数。相加之后的信号幅值为原始相量幅值的2倍。

图3 实值信号可以认为是两个相量之和

如果一个信号只有正频率部分，则称这个信号是解析信号，它也是一个复值信号，因为虚部是实部的希尔伯特变换。一个信号的解析信号是其频谱的正半轴对应的信号的2倍。对于希尔伯特-包络分析而言，首先就要构造相应的解析信号。

一个沿正方向（逆时针）旋转的相量就是一个解析信号。对于希尔伯特变换而言，变换之前的信号为实值的时域信号，而相量X⁺和相量X^-旋转方向相反，旋转速度相同，它们之和将生成一个实值的时域信号，即

虽然这两个相量都是复数，但它们的和是一个随时间变化的实数，这就是我们要变换的实值时域信号x(t)。为了使信号成为解析信号，需要消除X^-，这就需要一个相位相反、方向相同的相量-X^-。令

也即是，正方向旋转的相量的相位向后移动90度变成了负方向，这个相位移动等于相量X⁺与-j的乘积。负方向旋转的相量的相位向前移动90度变成了正方向，这个相位移动等于相量X^-与j的乘积。

实际上，上式就定义了希尔伯特变换，相量Y⁺与相量Y^-的和为

解析信号是一个有虚部的复值信号，这个虚部就是信号实部的希尔伯特变换。解析信号Z定义如下

解析信号的定义表明解析信号是正方向的原始信号的相量的2倍。

首先，我们要明白希尔伯特变换是针对包含正弦（或余弦）成分的连续时域信号，因此，信号具有周期性。希尔伯特变换一定是在时域，是将时域信号通过希尔伯特变换后再回到时域。那么，对希尔伯特变换而言，输入输出信号都是时域信号，只不过是相位发生了变化：移动了90度。因而，希尔伯特变换可视作一个滤波器，可以通过传递函数来描述它。起到希尔伯特变换作用的滤波器，我们称之为希尔伯特变换器或90度相位移动器。假设输入信号x(t)和输出信号y(t)的傅里叶变换分别为X(jω)和Y(jω)，那么，希尔伯特变换使相位移动90度，定义为

我们知道正弦信号相位移动90度，可以变成余弦信号，反之亦然。那么，我们可以说，正弦信号的希尔伯特变换是余弦信号，余弦信号的希尔伯特变换是正弦信号。

除了用传递函数来描述希尔伯特滤波器的特性之外，还可以用脉冲响应函数来描述。脉冲响应函数由频响函数经傅里叶逆变换得到。但上式不能直接进行逆变换，因为它不是一个衰减函数。为了使之满足逆变换的要求，对上式乘以一个指数函数，而指数函数求逆非常方便。如果变量σ趋于0，如图4所示，那么，原始的传递函数乘以指数函数后，变换成

图4 希尔伯特变换的频响函数和脉冲响应函数

修改后的传递函数H(jω)的脉冲响应函数为

对上式求极限，我们可以得到希尔伯特变换的脉冲响应函数为

时域信号的希尔伯特变换也可以通过一个确定的公式来计算，类似傅里叶变换。通过上面的脉冲响应函数我们知道，它在t=0时刻是没有定义的。对于这个定义而言，涉及到卷积积分。而对于无穷积分或瑕积分而言，可使用柯西主值（Cauchy principal value, PV）来表示，如对于

则称

为柯西主值。

使用柯西主值表示的输入信号x(t)经希尔伯特变换的输出信号y(t)可定义为

一些常见函数的希尔伯特变换如表1所示。

表1 希尔伯特变换

希尔伯特变换的以上定义都是针对连续的时域信号，而实际工程上的采样都是离散的数字采样点信号。针对采样信号有两种方法可用于计算希尔伯特变换，一种为快速傅里叶变换（FFT），一种为数字滤波器方法。但是由于数字滤波器存在相位延迟，因而，通常使用FFT来计算希尔伯特变换。

对于FFT计算而言，每帧数据点数都是2的n次幂，因此，数据点数都是偶数，这就保证了相量能成对出现。基于FFT的希尔伯特变换分三步：

第一步，对有限偶数个采样点的输入数据进行FFT变换，以便得到信号中包含的正负相量。

第二步，对正方向的相量旋转-90度（乘以虚数单位-j）；对负方向的相量旋转90度（乘以虚数单位j）。这相当于交换了信号的实部与虚部。

第三步，准备数据用于快速傅里叶逆变换计算（IFFT），然后进行逆变换到时域。

如图5所示为频率为100Hz，初相应为70度的正弦信号（红色）和它的希尔伯特变换信号（绿色）。我们知道时间移动对应于相位移动，而相位φ与时间t的关系为

取图5相邻的峰值数据点的时间差来计算，应满足以下关系

二者的时间差为2.5ms，代入上式，刚好满足，因此，验证二者的相位差为90度。

图5 正弦信号和它的希尔伯特变换

参考：

1. Jiri Tuma，Vehicle Gearbox Noise and Vibration: Measurement, Signal Analysis, Signal Processing and Noise Reduction Measures. John Wiley & Sons, Ltd, 2014