一点的应变状态.

在描述一点处的应变时，我们提到一个矛盾：即点是只占据空间位置而没有大小的几何元素，而应变是通过微段来定义的，如线应变通过微段的伸长/缩短量除以原长，角应变通过微段之间夹角的改变来定义。为了解决这一矛盾，先从一点出发引出三条平行于坐标轴微段定义应变，然后再令微段趋近于0，使得没有大小的点和需要大小的应变定义在动态趋近中取得了一致。不过，即便是这样，一点处的应变概念仍然存在一个漏洞没有解决。

 

如图1所示，假设平面内一块平板在F作用下收缩变形，定义P点的应变，必然要在P点引出两个微段，如图1中所示，可以引出PA和PB来定义P点的应变，同样也可以引出PC和PD来定义。一般情况下，所引出的微段平行于坐标轴，意味着有多少种坐标系的构造方式，就多少种微段的构造方式。

更麻烦的是，从图1中可以看出，当图示平板被压缩后，PA、PB的变形量和PC、PD的变形量在数值上是不一样的，其它方式构造的微段变形在数值也不相同。这样一来，到底应该选择哪一组微段去描述P点的应变？一点处的应变是确定的还是不确定的？回答这个问题，就必须理解应变状态的概念。 

所谓应变状态，就是指在所有可能的坐标系下，一点处各种应变描述的总和。对于应变状态，一个重要的问题就是如何描述不同坐标系下的各种应变状态？

 

在描述物体变形时，我们提到无论再复杂的物体变形，在力学上都可以简化为线段长度的改变（膨胀或收缩）以及线段夹角的改变（畸变）两类，这就是力学描述的简洁性！同样，虽然一点的应变状态随着坐标变化可能出现无数多种可能，但从力学角度看来，这无数多种应变描述的背后也存在简洁的规律可循，依然可以用简洁的方式进行描述。

 

这里分任意方向上的线应变和角应变来解释，需要强调一点，任意方向的角应变实际是任意方向上线段夹角的改变，组成夹角的两个微段方向是任意的。

图3 各式各样的应变花  百度图片搜索

第三、空间情况推广

 

到现在为止，我们求出了任意方向上的线应变和角应变，只不过是在平面上求得的。对于空间情况，可以参照平面向量拓展为空间向量时的差异，将任意方向上的线应变和角应变从平面拓展到空间。空间坐标系比平面坐标系多一个坐标轴，空间任意线段就需要用三个投影来描述，表1列出了向量和任意线段在空间和平面坐标系中的投影分量，以及它们的方向余弦。

总结

对于一点的应变状态，其一要明白为什么要提一点的应变状态（建立坐标系不同，就会得到一点处不同的应变值），其二要明白一点处应变状态的描述方法（先任选一个坐标系，然后依据任意方向的应变公式导出其余坐标系下的应变描述）。任意方向上的应变实际是为了描述不同坐标系下一点的应变状态，在其推导过程中尤其要理解方向余弦和投影的意义，画出任意方向上应变的推导过程如下：

在一点处应变状态的推导过程中，用到了高数中泰勒级数、中学学过的向量内积运算，以及小学学过的勾股定理。在学习中，如果可以把新的知识点拆解，与之前学过的课程对接，新的知识点就变成了老的知识点，消除学习难点，同时这样的对接还加固了原来的知识点，一箭双雕、一举二得，使得学习收益最大化。

 

如果把学习看作是学习者搭建自身知识架构体系的过程，知识点的拆解、重组过程就相当于找到承载新知识点的传力途径，如果这种传力途径一直可达中学、甚至是小学的知识点，由此搭建的知识架构就越稳定，知识点就越不容易遗忘。相反，如果每学一种新的知识点都将其作为全新的知识而不能分解与重组，那么学习就会变成一种负担，学习者就会越学越累直至架构不能承载而发生坍塌。

来源：力学酒吧

作者：张伟伟