弹性力学中微元体应力增量的讨论

徐芝纶是力学泰斗，他的弹性力学更是力学界经典教材，无数力学人受其恩泽。但笔者在读2.2节平衡微分方程时，总觉得不够完美。

如书上所述，增量应力的泰勒级数

为什么可以略去二阶微量，真的因为是微量的原因吗？微量也可以积少成多，不是吗？所以笔者觉得这里说法不完美。当然，笔者不是说这里的说法是错的。

首先，复习一下泰勒公式，

导数作权，多项式组合，逼近原函数，这就是泰勒公式。

就可以得到上文的增量应力的泰勒级数。但二阶及以上微量为什么能略去呢？没说清楚。

假如应力场函数是线性函数，二阶导数为零，那自然可以略去。但应力场函数并不要求是线性函数。

如果教材换一种表达方式，就容易理解了，这是笔者的建议：

这个式子是偏微分的定义，因为是微元体，可以无限小，所以dx趋于0，所以增量应力为：

没有提到略去微量，也不存在略去微量，能这样表示的根本原因就是微元体是无限小的。

另外，建立平衡方程的时候，强调平衡方程是建立在变形以前，而不是变形以后。笔者也觉得这样说不完善笔者认为不管变形前的微元体还是变形后的微元体，只要是微元体，平衡方程的形式都是一样的。有一种解释是，之所以不建立在变形后，是因为建立平衡方程等就是为了求变形，这变形还没求出来，何谈在变形后建立平衡方法呢。逻辑上就不行！好像很有说服力，但笔者依然觉得还不够，不是核心的理由。笔者认为，最根本的理由是：我们只知道变形前的边界条件，无法考虑变形对边界条件的影响，只要有变形，边界条件也就变了，位置、方向、数值，至少有一个是变的，但我们只能使用变形前的边界条件，所以我们也只能用变形前的位形来建立平衡方程。