什么是ALE方法
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ALE (Arbitrary Lagrange-Euler)方法
连续介质力学中有两种经典的运动描述方法，描述有限元网格的运动时也采用这两种方法。一种是Lagrange描述，网格节点固定在物质点上并随之运动，因此在描述运动边界或者运动界面时非常方便，但当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元的近似精度，重则使坐标变换中的Jocobian行列式的值等于零或者负数，从而使计算中止或者引起严重的局部误差；另一种是Euler描述，网格节点固定在空间，始终不动，因此在描述大变形时没有纠缠问题，但也有两个缺点：(1)网格和物质的相对运动使处理对流效应更加困难；(2)无法精确确定运动边界或者运动界面的位置。
为了克服拉格朗日描述和欧拉描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE描述法，后来又被Hughes, Liu和Belytschko等人引入到有限元法中来。其基本思想是：计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系作任意运动。由于这种描述既包含Lagrange观点，可应用于带自由液面的流动，也保留了Euler观点，克服了纯Lagrange方法常见的网格畸变的不如意之处。自20世纪80年代中期以来，ALE描述已被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固耦合问题等等。
ALE方法理论基础
一、基本控制方程
ALE算法的控制方程可以由下列守恒方程给定：
1、质量守恒方程。
3、能量守恒方程。
推导欧拉方程是基于这样的假设：参照构形的速度为零以及物质和参照构形两者的相对速度为物质速度。 动量守恒方程中相对速度项通常称为对流项，用于计算物质通过网格的输运量，正是由于方程中的附加项才导致用数值方法求解ALE方程要比拉格朗日方程求解困难的多，这是因为拉格朗日方法中相对速度为零。
求解ALE方程有两种途径，他们相当于流体力学中实现欧拉观点的两种方法。第一种方法为计算流体力学求解全耦合方程， 该方法只能控制单个单元中的单一物质。另一种方法称为算子分离算法，每一个时间步上的计算被划分为两个阶段。首先执行拉格朗日过程，此时网格随物质运动。该过程中，计算速度及由内外力引起的内能变化量，平衡方程为
计算的拉格朗日过程，由于没有物质流经单元边界，所以质量自动保持守恒。计算的第二阶段，即对流项，对穿过单元边界的质量输运、内能和动量进行计算，这可以认为是将拉格朗日过程的位移网格重映射回其初始位置或任意位置。
根据Benson对上述平衡方程的离散化观点，采用单点积分就够了。沙漏粘度用于控制网格的零能模式，带线性和二次项的冲击粘度则用于求解冲击波，在能量方程（平衡方程中的第二个方程）中增加了压力项。采用中心差分法按时间递增进行求解，此中心差分法采用时间显式法，提供二阶时间精度。
二、时间积分
LS-DYNA中的数值处理器采用中心差分法及时更新网格位置，欧拉算法要求有稳定的时间步长dt<dx/(c+u)，其中dx是单元特征长度、c为材料声速、u是质点速度。
对于固体物质而言，材料声速可表达为
ALE (Arbitrary Lagrange-Euler)方法
连续介质力学中有两种经典的运动描述方法，描述有限元网格的运动时也采用这两种方法。一种是Lagrange描述，网格节点固定在物质点上并随之运动，因此在描述运动边界或者运动界面时非常方便，但当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元的近似精度，重则使坐标变换中的Jocobian行列式的值等于零或者负数，从而使计算中止或者引起严重的局部误差；另一种是Euler描述，网格节点固定在空间，始终不动，因此在描述大变形时没有纠缠问题，但也有两个缺点：(1)网格和物质的相对运动使处理对流效应更加困难；(2)无法精确确定运动边界或者运动界面的位置。
为了克服拉格朗日描述和欧拉描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE描述法，后来又被Hughes, Liu和Belytschko等人引入到有限元法中来。其基本思想是：计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系作任意运动。由于这种描述既包含Lagrange观点，可应用于带自由液面的流动，也保留了Euler观点，克服了纯Lagrange方法常见的网格畸变的不如意之处。自20世纪80年代中期以来，ALE描述已被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固耦合问题等等。
ALE方法理论基础
一、基本控制方程
ALE算法的控制方程可以由下列守恒方程给定：
1、质量守恒方程。
2、动量守恒方程。
控制固定域上的牛顿流体流动问题的增强形式由控制方程和对应的初始边界条件组成，控制流体问题的方程是Navier-Stokes方程的ALE描述，其中Wi是物质速度v与网格速度u之差，称为相对速度。
3、能量守恒方程。
推导欧拉方程是基于这样的假设：参照构形的速度为零以及物质和参照构形两者的相对速度为物质速度。 动量守恒方程中相对速度项通常称为对流项，用于计算物质通过网格的输运量，正是由于方程中的附加项才导致用数值方法求解ALE方程要比拉格朗日方程求解困难的多，这是因为拉格朗日方法中相对速度为零。
求解ALE方程有两种途径，他们相当于流体力学中实现欧拉观点的两种方法。第一种方法为计算流体力学求解全耦合方程， 该方法只能控制单个单元中的单一物质。另一种方法称为算子分离算法，每一个时间步上的计算被划分为两个阶段。首先执行拉格朗日过程，此时网格随物质运动。该过程中，计算速度及由内外力引起的内能变化量，平衡方程为
计算的拉格朗日过程，由于没有物质流经单元边界，所以质量自动保持守恒。计算的第二阶段，即对流项，对穿过单元边界的质量输运、内能和动量进行计算，这可以认为是将拉格朗日过程的位移网格重映射回其初始位置或任意位置。
根据Benson对上述平衡方程的离散化观点，采用单点积分就够了。沙漏粘度用于控制网格的零能模式，带线性和二次项的冲击粘度则用于求解冲击波，在能量方程（平衡方程中的第二个方程）中增加了压力项。采用中心差分法按时间递增进行求解，此中心差分法采用时间显式法，提供二阶时间精度。
二、时间积分
LS-DYNA中的数值处理器采用中心差分法及时更新网格位置，欧拉算法要求有稳定的时间步长dt<dx/(c+u)，其中dx是单元特征长度、c为材料声速、u是质点速度。
对于固体物质而言，材料声速可表达为
式中ρ为材料密度，G为剪切模量，P(ρ,e)为状态方程压力。上述第二个式子右边用于计算材料受压缩导致内能增加而引起的硬化效应。
对于流体物质而言，k=ρ0*c^2。其中ρ0为质量密度，c为声速，流体物质在计算声速时忽略其粘度。
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