有限元的性质和收敛性.pdf

节选段落一：
有限元的性质和收敛性
一、有限元解的收敛准则
有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同
在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里
兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，
如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数 n--->∞时，则 Ritz法的近似解将趋
近于数学微分方程的精确解。现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？
在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。


节选段落二：
从上述讨论可以得到下列收敛准则：
准则 1
完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶，则有限元解收敛的条件之一
是单元内场函数的试探函数至少是 m 次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至 m
阶导数为常数的项。 单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
1
至于连续性的要求，当试探函数是多项式的情况下，单元内部函数的连续性显然是满足的，
如试探函数是 m 次多项式，则单元内部满足 Cm-1 连续性要求。因此需要特别注意的是单元交
界面上的连续性，这就提出另外一个收敛准则。
准则 2
协调性要求。


节选段落三：
对于几何形状，材料，载荷
有突变的情况，以及网格不均匀，单元形状畸变的情况，问题将复杂化，上述定性估计将难以应
用。
需要注意的是，以上所讨论的误差仅是离散误差。即一个连续的求解域被划分成有限个子域
（单元），由单元的试探函数近似整体域的场函数所引起的误差。 另一主要误差是计算机有限的
有效位数（字长）所引起的，它包含舍入（四舍五入）误差。
差和截断（原来的实际位数被截取为计算机允许的有限位数）误差。前者带有概率的性质，
主要靠增加有效位数（如采用双精度计算）和减少运算次数（如采用有效的计算方法和合理的程
序结构）来控制。