非线性振动——[刘延柱，陈立群编着].pdf

节选段落一：
因此可以只取包含在二直线
条边线互相粘合卷成一个柱面，称为相柱面。在此柱面上，中心和鞍点各
可在柱面上缩为一点，另一类则不能（图
只有一个。过鞍点的分隔线分隔出两类拓扑性质不同的封闭曲线：一类
。它们对应于两类性质不
同的周期运动：前者对应于单摆在平衡位置附近的摆动，后者对应于单摆
绕悬挂点朝同一方向的旋转。
图 相柱面上单摆的相轨迹图 单摆的相轨迹
成。如图
曲线见图
敏区存在，图
分段线性系统
分段线性系统是一类特殊的非线性振动系统，其恢复力
令式 ）中 ，导出 ，代入式
计算得到的摆动周期 是振幅 的函数，
）为
的分段线性函数。


节选段落二：
此
时常采用延续算法求数值解。即从（
小的步长对解曲线进行连续跟踪，以得出解随参数变化的规律。在奇异
点处，通常的延续算法往往失效，因此需要改进延续算法以处理分岔
，
计算分判断和确定解曲线上的分岔点；
改进延续算
问题。
用数值方法处理的分岔问题一般可分为三个方面：
法实现对解曲线的跟踪；
岔点处的分岔方向，用于对分岔后的解曲线进行跟踪。这些问题也是非
线性系统大范围数值分析的基本内容。
本书仅讨论静态分岔问题的数值方法。


节选段落三：
由于近似解点与解曲线
从一点经过若干步后得到下一点的预测，再由原方程
其进行修正，从而逐步获得方程
确定解曲线的思想称为延续原理。
这种情形，可以引入一个辅助参数
，
与方程 联立。适当选择约束方程，可以使联立的方程组在非分岔
）不可逆，上述延续方法失效。对于
，并增加一个约束方程，即引入
）
（
（
点的奇异点处的 阶雅可比矩阵
。在 上）之间的弧长记作
其中 ）可适当选择， 处的 在前一步计算和
中已经求得。这种延续算法称为拟弧长算法。在分岔点处矩阵 仍为
的牛顿迭代法仍可能收
）诸本征值实部中的最大者，
的一种自然的选择是
。