抗弯惯矩、抗扭惯矩的物理意义

截面特性计算的过程中，很容易在一些基本概念上出现理解偏差，于是呢，今天咱就来聊聊平面几何性质的这些事儿。

截面几何性质的用处

对于受弯、受扭构件而言，截面几何性质在很多情况下都能用得上，比如两个最常用的：

在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为：

在横截面上离形心最远的各点处，扭转的剪应力最大，其值为：

所有与截面有关的计算问题，都会涉及到截面几何性质，比较典型的，就是抗弯惯矩、抗扭惯矩等“各种矩”。

需要注意的是，抗弯惯矩对应的是材料力学里的惯性矩，抗扭惯矩“部分等价于”材料力学里的极惯性矩。

各种“矩”

静矩

静矩又称为“一阶矩”，百度百科里给出的定义是：对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩，几何上可以用来计算重心，统计学中叫做数学期望（均值）。

觉得拗口？咱们“望文生义”一下，第一次接触到“矩”是在哪里？中学时候学过的力矩，对吧，力矩等=力*力臂，我们来类比一下，把静矩看作“静力矩”，是静力的力矩，静力指的是重力。看下面的图：

对于面积微元dA而言，对于z轴的静矩，就是dA对应的重力乘以dA到z轴的力臂，也就是yc，那么对dA在整个平面上积分，就成了这个平面对z轴的静矩：

不知道有人发现了没有，刚才说的不是“重力”嘛，怎么是对平面的积分呢？因为研究的对象就是一个没有厚度的面，对于理想的等截面匀质构件来说，面积-体积-重力就是成正比的物理量了。

那么，静矩有什么用呢？

计算形心位置，因为当坐标轴通过形心时，对应的静矩就会是0，因此对于非对称的复杂截面，我们需要得到形心位置，从而可以把整个截面的重力集中到形心点上去，实现结构分析的简化。

形心位置：

其实，严格来说，本文讲的全部“重力”，都应当替换成“质量”更稳妥。因为所谓形心(质心)指的是把为质量集中在此点的假想点。当截面由不同材质组成，形心和重心就不重合了。

惯性矩

有了静矩的分析经验，我们还是来“望文生义”，把惯性矩看为“惯性力矩”，惯性力指的是什么呢？

什么时候有惯性？当然是运动的时候啦，所以，这回和刚体运动联系上，物体发生转动的时候，有外力矩=转动惯量*角加速度的关系，那么回顾一下转动惯量是怎么定义的：

其中，m是质量，r是半径，长度单位。

从上图可见，是不是找到相似之处了？同样是面积量(这里把面积等同于质量)乘以到坐标轴力臂的平方：

至于“惯性”也好理解，截面在受弯时，是不是可以理解为绕着中性轴发生截面的微小转动呢？

上面的公式，分别是表示绕着Z轴转的Iz和绕着Y轴转的Iy，那么在一个平面内，只能绕着两个轴转么？能绕着一个点转吗？别忘了还可以引入“极坐标”的概念：

想一想，一个截面，绕着一个点旋转，是什么效果？这就是扭转啦！

惯性积

注意上面的各种“力臂”，讨论了一阶的力臂，也讨论了一阶力臂的平方，那么将两个一阶力臂相互乘积，能得到什么物理量：

如果截面对Y或Z有一个对称轴，则Iyz=0，它的意义在于——表明截面是有对阵轴的，那么称这对使惯性积为零座标轴称为惯性主轴，若是惯性主轴再通过形心，就叫形心主轴。