第三章平面杆件结构有限元法（二）

小青CAE

2020年12月24日 23:33

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上一章，我们从最简单的一维杆单元开始，初步认识了一下有限元，了解了有限元分析的一些基本概念。本章我们继续学习杆单元，首先从一维杆单元拓展至二维杆单元，然后总结一下整体刚度矩的组装方法，最后学习一下平面刚架的有限元法。

3.1

平面桁架

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图1

图3.1 平面杆单元节点力和位置示意图如图3.1所示，杆单元e仍旧只能发生沿着杆长方向的变形，但是在二维平面内，沿着杆长方向的节点位移向量、节点力向量可分解为与坐标轴（x轴、y轴）同向向量的和。不妨用表示单元e与x轴的夹角，则对于节点1而言有

式中，表示杆单元的杆长方向（即杆单元的局部坐标系方向，在没有特殊说明时角标“ 斜撇 ”表示局部坐标系）。

将式(3.1)、(3.2)写成矩阵的形式，可得

式中，和分别包含节点1整体坐标系下的两个节点力分量和两个节点位移分量；。

同理可得节点2的节点力向量和位移向量

式中，、。

由材料力学可知（详见第二章内容），在杆件局部坐标系下

式中，。

因为 , ,所以有

（上式计算过程可以理解为，先将整体坐标系下的节点位移转换至单元局部坐标系下计算局部坐标系下的节点力，然后再将局部坐标系下的节点力转换至整体坐标系下）

写成矩阵形式可得

式中，

3.2

整体刚度矩阵组装

有限元法分析问题，第一步总是将复杂的系统离散成简单的单元，计算单元在整体坐标系下的刚度矩阵，然后遍历所有单元组装整体刚度矩阵。组装的规则非常简单——将不同单元（整体坐标系下）的刚度矩阵、节点力、节点位移的同一节点分量叠加起来。如图3.2所示，一平面桁架有两个单元，编号分别为1、2；有三个节点，编号分别为1、2、3。

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图2

图3.2 平面桁架示意图

由3.1节中的相关内容，易求得每个单元在整体坐标系下的刚度矩阵。不妨写为

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图3 将不同单元（整体坐标系下）的刚度矩阵、节点力、节点位移的同一节点分量叠加起来可得

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图4

（组装时所有的单元刚度矩阵、节点力、节点位移均需在统一的整体坐标系下）

3.3

平面刚架

平面桁架杆件单元很容易拓展成平面刚架杆件单元，只需要在节点处增加一个平面内旋转刚度。在节点处增加平面内旋转刚度后，其节点位移、节点力、杆件变形如图3.3所示。

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图5

图3.3 平面刚架杆件单元

由结构力学易知节点弯矩为

通过在节点处建立平衡方程，可得

将式(3.13)、(3.14)写成矩阵的形式，可得

式中，分别是刚架杆单元局部坐标系下的刚度矩阵、节点力向量、节点位移向量。

显然是对称矩阵。

与平面桁架杆单元相同，组装整体刚度矩阵前，需要将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换至整体坐标系下（注意平面问题节点整体坐标系下的旋转自由度方向与局部坐标系的相同）。参照式(3.3)、(3.4）可得

式中

由式(3.17)、(3.18)可得

式中为坐标转换矩阵; 是整体坐标系下的刚度矩阵。

至此可得平面刚架杆单元的有限元平衡方程为

3.4

小结

1、有限元法将复杂的系统离散成单元后，在单元的局部坐标系下建立了单元的平衡方程。组装系统的整体刚度矩阵时，需要将局部坐标系下的平衡方程转换至整体坐标系下，然后在统一的整体坐标系下组装（对号入座）。

下一次课内容

通过这两章，小编带大家初步了解了一下平面桁架杆单元、平面刚架杆单元，用到的基础知识是材料力学和结构力学。在正式开始学习枯燥的有限元理论知识之前，小编想带大家体验一次abaqus的平面杆单元二次开发，从而体验一把二次开发的乐趣。下一次课的内容是abaqus平面杆单元二次开发。

最后欢迎批评指正，小编水平有限，希望大家跟我一起完善这部教材，造福更多的人，谢谢！

第三章平面杆件结构有限元法（二）的图6

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第三章平面杆件结构有限元法（二）的图7

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