【JY】橡胶支座精细化模拟与有限元分析注意要点

简介

    硫化天然橡胶是一种非线性材料，具有低剪切模量、低弹性模量、几乎不可压缩和断裂伸长率高的特点。典型的橡胶单轴拉伸应力应变曲线如下图所示，我们可以通过宏观单元对于橡胶支座进行模拟，详情请看（【JY】基于Rmberg-Osgood 本构模型的双线性计算），为了探究支座的细部构造与性能，今天给大家带来橡胶支座精细化模拟，以及有限元分析中相关的注意要点。

    名义应力是指未变形单位面积上的力，名义应变是指每单位未变形长度的伸长。

    从精细化细观中分析，橡胶的超弹性本构在曲线在小应变（<50%）时具有较高的弹性模量，在中等应变（50~200%）弹性模量降低，在大应变时（>200%）弹性模量又升高，即开始出现硬化现象，而通常宏观本构的使用，通常将中小应变下体现出来的宏观刚度取一致，大变形至>250%，开始考虑橡胶支座硬化。

    在橡胶的变形特点中，橡胶变形后体积基本保持不变，即接近不可压缩，其泊松比非常接近0.5，一般在0.4985到0.4999。通常采用体积模量K (或修正体积模量Eb)来描述橡胶的体积变形特点，体积模量是指压强变化与对应体应变的比值，（详细可见【JY】橡胶支座的简述和其力学性能计算）

    其中体应变为单位初始体积的变形。隔震支座橡胶的体积模量K(非修正)一般取1000~2500Mpa，建议取1000Mpa。(具体参数可参照后文表格)

    特别注意，精细化模型采用的体积模量K(可取1000Mpa)与宏观单元采用的体积模量Eb=1960Mpa不同，原因是橡胶支座精细化模拟仅考虑橡胶本体的体积模量K，是由试验测定的，而宏观单元中的体积模量Eb并非根据试验测定的，而是考虑其与叠层橡胶支座压缩刚度的一致性而确定的。

    根据GB 20688.3-2006 橡胶支座 第3部分：建筑隔震橡胶支座可得最后一列体积模量K的参考值：

    用于橡胶分析的超弹性本构中，常用的超弹性本构模型通常有两类，基于统计热力学理论的分子链网络模型和基于连续体介质力学的唯象理论模型。（唯象理论模型：指物理学中解释物理现象时，不用其内在原因，而是用概括试验事实而得到的物理规律，如果这个不科学，那中医…）

    为了分析这个精细化支座，本推文采用的有限元工具是ABAQUS，基于ABAQUS中，基于唯象理论的超弹性本构模型，包括多项式模型中的Mooney-Rivlin 模型，减缩多项式模型中的Neo-Hookean 模型和Yeoh模型，以及Ogden模型。其他模型：Arruda-Boyce模型的参数是由热力学统计方法得到，而Van der Waals模型不适用于大变形，当材料的变形大于锁死应变时，该模型的应变能函数并不适用。其中，neo-Hookean模型和Yeoh模型可视为减缩多项式模型的特例，而减缩多项式模型和Mooney-Rivlin模型则可视为多项式模型的特殊情况。

    目前公认的模拟橡胶材料大变形时的应力-应变行为最好的模型是Ogden模型。但Ogden模型参数较多，且物理意义不够明确，建议采用减缩多项式模型中的Neo-Hookean/Mooney-Rivlin模型模拟100%水平剪切试验，用Yeoh模型来模拟大剪切变形时橡胶的本构关系，图为橡胶Ogden、Yoeh和Neo-Hookean模型本构示意曲线，其中名义应力为按照橡胶初始横截面面积计算得到的应力值，名义应变为按照橡胶初始长度计算得到的应变值。Ogden本构模型和Yoeh本构模型能够反映橡胶材料大应变时的硬化，Neo-Hookean/Mooney-Rivlin本构模型在橡胶大应变时仍保持线性。

（1）多项式模型

    多项式模型的应变能函数，其形式为

    参数应变势能阶次N为选择的多项式阶数，Di决定材料是否可压缩，如果所有Di的都为0，则代表材料是完全不可压缩的。对于多项式模型，无论N值是多少，初始的剪切模量和初始的体积模量都仅依赖于多项式第一阶（N=1）的系数，对于ABAQUS的多项式模型中，

●若应变势能阶次N=1，则为Mooney-Rivlin模型；

●若应变势能阶次N=3，忽略多项式本构模型中的对I2的偏导并令其为零(即忽略C01)，则为Yeoh 模型。

（2）Mooney-Rivlin模型

    令多项式模型的若应变势能阶次N=1，即为Mooney-Rivlin 模型的应变能函数形式

    对于大多数橡胶，C01/C10≈0.05~0.2时，在应变200%以内可得合理的近似。

    因此可以根据上述方式，填写橡胶参数进行精细化模拟。其中通过试验滞回曲线初始直线段可得橡胶剪切模量G（G4 ~ G10的橡胶），依据经验对G乘以1.2~1.35的放大系数n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，从而有 

    即可解的Mooney-Rivlin模型的C10、C01、D1。

    由于Mooney-Rivlin模型的应变能是不变量的线性函数，不能反映应力应变曲线在大应变部分的快速上升行为，但能很好地模拟小应变和中等应变(<200%)时材料的特性。当参数C01=0时，简化为Neo-Hookean模型（初始弹性模量μ0为C10系数2倍关系）。

（3）Neo-Hookean模型

    令Mooney-Rivlin模型中的参数C01= 0，可得到Neo-Hookean模型的应变能函数

    橡胶的初始剪切模量为：

    橡胶剪切模量G（G4 ~ G10的橡胶），依据经验对G乘以1.2~1.35的放大系数n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，从而有

    体积模量（K0=1000Mpa）为：

    根据上式可以求得所需参数C10，D1。

（4）Yeoh 模型

    取阶数N=3，忽略多项式本构模型中的对I2的偏导并令其为零，则可将多项式模型简化为Yeoh 模型形式

    式中，C10为正，反映初始剪切模量；C20通常为负，表示橡胶材料在中等变形时发生软化行为；C30一般大于0，可以表现大变形时橡胶的硬化现象。

    橡胶的初始剪切模量为：

    体积模量为：

    Yeoh模型的参数C10，C20和C30具有较明确的物理意义，能够模拟出橡胶材料具有硬化特点的应力-应变曲线，由于在叠层橡胶支座模拟中体积模量只与D1 有关，可令 D2=D3=0，当取其C20=C30=0时，就成了Neo-Hookean模型，此时仅考虑应变能函数的线性部分，得到的力-位移曲线基本呈线性。

    通常Yeoh 模型的C20和C30则通过橡胶试片的单轴拉伸试验，并根据下式进行计算获得

    橡胶本体拉伸试验示意图

（5）Ogden模型

    以上本构模型都是以三个变形张量不变量为自变量，而Ogden模型的应变能函数则以三个主伸长比为自变量，在ABAQUS中采用的形式为

    式中参数均为材料参数，必须由由橡胶试验获得。其中橡胶材料的初始剪切模量为：

    体积模量为：

    由于该模型参数较多，且需要利用试验得到相关参数，则对该模型不过多赘述，详情可看下相关文献。

 （1） 钢材材料属性

    若做中小应变模拟时，通常钢板可采用弹性本构，弹性(杨氏)模量G=206GPa，泊松比取0.3。若做大变形模拟，或钢板可能存在损伤情况，可采用弹塑性本构，双折线随动硬化模型进行模拟，以常见的Q235钢为例，参数表和输入如下：

 （2） 铅芯材料属性

    通常铅芯橡胶支座中的铅纯度可达到99.99%以上，采用理想弹塑性本构模型，其弹性模量为16GPa，泊松比取0.44，屈服强度建议取14.4Mpa（可取8~16Mpa）

 （3） 单元选取

    橡胶材料由于具有不可压缩或近似不可压缩的性质，橡胶材料需要采用8节点六面体杂交减缩单元C3D8RH。杂交公式可让单元的节点位移仅仅用来计算偏应变和偏应力，单元的压应力则由一个附加的自由度确定，可以防止体积自锁的问题，减缩积分则可以减少积分点使得计算效率上升；铅芯属于常规的材料，为了防止剪力自锁问题，铅芯建议可采用缩减积分8结点线性六面体单元C3D8R进行计算；钢材由于变形较小可采用8节点六面体非协调单元C3D8I，以防止剪切自锁问题。

 （4） 计算方法建议

    （ABAQUS-Explicit）显式分析所假定橡胶可压缩性要比实际大得多，可能导致结果不准确。此外，对于叠层橡胶支座，橡胶与钢板黏接，橡胶材料被高度约束，而这会导致显式分析结果的误差会进一步加大。所以在ABAQUS中使用隐式（Standard）求解方法分析橡胶支座的力学特性会更加接近试验分析。

     举个例子，采用的支座如下参数，（工具索取详见：【JY】橡胶支座的简述和其力学性能计算）

    对于该支座的理论参数进行位移推复（该理论本构模型未加入硬化阶段分析），可得到以下理论滞回曲线：

     为了完整模拟分析支座全过程ABAQUS中使用隐式（Standard）求解，采用Yeoh本构模型，施加5Mpa面压，并进行逐级增大的往复位移荷载。

    对比如下图所示，由于橡胶层总厚度Tr = 90mm，则在剪应变200%（即位移为180mm）以内时，支座未硬化，模拟对比非常吻合~

概念为先，机理为本，期待下篇！

建源之光——工程侠