基于comsol结构有限元总结

1. 结构有限元基本原理

静力学分析：

应力张量：一个点处在笛卡尔座标上三个微分面上有9个应力张量，可以把这个二阶张量表示为σ_ij，所以也可以用矩阵表示为

 

在材料力学中，一个三维物体内总会找到一组截面，其面上只有正应力，并没有剪应力，这个应力成为主应力，也是应力张量的不变量，按照数值大小排列为：

 

应变张量：

与应力一样，需要一个应变张量描述某点的变形，定义应变张量为ε_ij，这个二阶张量可以表示为：

 

正应变：表示微元的相对伸长和缩短

切应变：表示微元夹角的变化

广义胡克定律：广义胡克定律描述的是应力张量和应变张量之间的关系，从而间接建立受力和变形之间的关系，如下所示：

 

这里剪切模量G=E/(1+2*ν)

所以写成矩阵形式就是

这里构成了线弹性材料本构方程。

这里还需要考虑受力运动方程和变形协调方程，如下： 

受力方程

小变形假设方程

基于以上理论，我们就可以在comsol进行基本的结构力学计算，以上是所有复杂计算的理论基础，例如其他简化结构梁，桁架和壳体都是基于以上理论简化过来的。

下面就用comsol进行最基本的结构力学静力学分析：

如图设置边界条件：

 

弯头支架左边是直接固定约束，右端直接设置一个斜向力，只考虑小变形，不考虑几何非线性，得到如下应力分布和变形：

 

2.模态分析：

模态计算的目的：

确定机械部件的振动特性，固有频率和振型，参与系数和有效质量，预防结构共振，确定振动环境的工作可靠，结构动力学修正。

应用方面包含避免或利用共振，模态叠加法计算响应（包含频域相应，瞬态响应，响应谱和随机振动），振动和噪声控制，结构动力学优化目标或者约束条件。

原理：

 

这个方程描述了一般动力学方程形式，考虑了阻尼，我们先讨论不含有阻尼的形式，如下所示：

 

这个方程有解析解，假设运动为简谐运动：

 可以得到如下方程：

由于结构不考虑不振动情形，所以可以一系列特征值ωi，然后特征频率fi=ωi/2*π，而每个特征频率下的特征值是对结果进行了归一化处理的，变形幅度经过了缩放，得到如下：

 

所以不同特征值之间的变形幅度不同作比较。

有阻尼模态：

首先，对于具有黏性阻尼且无外部负载的单自由度（DOF）系统，可以用下面的运动方程描述：

除以质量m后，方程的归一化形式通常写为

这里， ζ是无阻尼的固有频率，称为阻尼比。为了使运动为周期性，阻尼比必须限制在以下范围内0<ζ<1：该系统中自由振动的幅度将随以下因子衰减

这里T0就是周期，所以有

 

利用这种办法可以得到阻尼比

第三种情况，当结构在接近固有频率下受到谐波激励时，阻尼也较大。当恰好发生共振时，振动振幅会趋于无穷大，除非系统中存在一些阻尼。共振时的实际振幅仅由阻尼量决定。

在某些系统中，例如谐振器，其目标是获得尽可能大的振幅。这时需要使用另一种常用的阻尼测量方法：品质因子或Q因子，其定义是共振时的放大倍数。Q 因子与阻尼比有关，可以表示为： 

 

描述阻尼的另一个方法是：假设在施加的力和所产生的位移之间，或在应力和应变之间存在一定的相移。相移仅对稳态谐波振动有意义。如果在一个完整周期内绘制应力与应变的关系图，将得到一个椭圆形的滞回曲线。

 

这里，将杨氏模量的实部称为存储模量，虚部称为损耗模量。损耗模量通常用损耗因子 η 来描述，因此有

 

由损耗因子定义的阻尼，可以用损耗角正切等效度量，损耗角正切定义为

 

由损耗因子定义的阻尼行为与粘性阻尼有所不同。损耗因子阻尼与位移幅值成正比，而黏性阻尼与速度成正比。因此，不能将一个数字直接转换为另一个数字。

下图比较了两种阻尼模型的单自由度系统的响应。可以看出，黏性阻尼在共振处高于损耗因子阻尼，在共振位置以下则低于损耗因子阻尼。

 

通常，在共振频率下考虑阻尼比和损耗因子阻尼之间的转换，此时，

但是，这仅适用于单个频率。

瑞雷阻尼：

粘滞阻尼：

在黏滞阻尼模型中，固体材料中的应力与应变率成正比。在最一般的情况下，联系应力和应变率的本构张量可以包含 21 个独立的常数。由于阻尼难以测量和量化，几乎无法得知其数值，因此我们更常使用各向同性黏滞阻尼模型。

 

所以，整体的来说，在comsol设置阻尼参数中一般设置损耗因子，瑞利阻尼和粘滞阻尼。

假设所有地方都使用了相同的损耗因子，阻尼矩阵可以表示为：

 

运动方程变为

 

所以在模态条件下计算得到的特征频率也是复数值，表示有损耗。

下面在comsol中进行弯头支架的无阻尼和有阻尼模态分析，首先进行无阻尼模态分析，得到结果如下：

 

前六阶模态数值 

第一阶模态的振形图

有阻尼模态分析：

 

设置瑞雷阻尼

 

前六阶模态数值，含有复数，表示损耗

 

第一阶模态的振形图