齿轮传动系统碰撞振动特性研究 附碰撞振动与控制金栋平下载

摘   要：针对在高速轻载条件下，齿轮传动系统出现的碰撞振动现象。以直齿轮传动系统为研究对象，结合 Hertz 接触理论，构建了系统碰撞振动分析模型。在轻载条件下，就不同转速及负载对齿轮副碰撞振动的影响进行了分析。研究发现载荷较小时轮齿间产生碰撞振动现象，啮合力频谱出现 1/3 次谐波，此时表现出极强的非线性，随转速的增加，碰撞力幅值逐渐增大，脱啮时间逐渐减小；随负载逐渐增加齿面依次经历了双侧碰撞，单侧碰撞以及正常啮合三个阶段，当负载达到碰撞振动门槛值时，齿轮副开始正常啮合。该研究成果为齿轮系统的减振降噪提供了理论依据。

 

关键词：齿轮副；Hertz 接触；碰撞振动；动态特性

 

1  引言

 

齿轮传动系统具有效率高，结构紧凑，工作可靠等特点，成为运用最为广泛的传动形式之一，其动态性能将直接关系到整个机器的优劣。在齿轮运转过程中，由于磨损或齿廓加工误差会使轮副产生齿侧间隙，造成齿轮啮合中出现三个重复冲击阶段，即接触、脱啮、再接触三个阶段^[1]。在高速轻载条件下，齿面将会发生更为明显的碰撞作用，并会引起强烈的振动噪声。

 

在齿轮碰撞振动方面，国内外科研人员对其进行了诸多有益的研究。文献^[2]通过建立一个集中质量模型，并用该模型对齿轮传动系统的拍击振动进行分析，计算了主动轴转速波动激励下齿轮传动系统振动状态随负载力矩变化的分岔规律；文献^[3]对齿轮系统动态特性利用动态传递误差来进行表征，并通过实验对直齿轮副的受迫响应进行了研究，说明了啮合刚度的时变幅值和重合度对系统动态特性有极重要的影响；文献^[4]用动刚度方法建立其振动分析模型，将直齿轮轮齿模拟为变截面Timoshenko 梁，研究中考虑了时变啮合刚度，计算了直齿轮的瞬态响应；文献^[5]基于动态啮合力，研究了相位调谐对抑制平移和扭转振动模式上某阶谐波的作用；文献^[6]建立了一个非线性振动分析模型，该模型具有时变啮合刚度和齿侧间隙等，并利用打靶法深入研究了周期解的分岔和混沌过度等现象^[7]。结合 Hertz 接触理论，建立了在轻载条件下的齿轮传动系统碰撞振动分析模型，阐述了齿轮啮合状态随负载增加的变化，分析了转速对齿面碰撞振动特性的影响。

 

2  分析模型构建

 

2.1 减速器模型

 

以单级直齿圆柱齿轮减速器为分析模型，如图 1（a）所示。其三维模型，如图 1（b）所示。分析模型参数，如表 1 所示。

 

（a）装配体模型                        （b）齿轮副模型

图1  减速器分析模型

 

表1 分析模型参数

 

2.2 齿轮副动力学模型

 

以减速器传动关系为依据，建立齿轮副的动力学模型，如图2所示。在不考虑摩擦的情况下，将传动系统中弹性较大，而质量较小的零件（如轴，轴承）简化为弹簧结构，将质量大，弹性较小的零件（如齿轮）简化为质量块，即得到了典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型，如图 2 所示。其中主动轮用 P 代表，从动轮用 G代表，啮合线方向的标记为 Y。忽略传动轴等的具体振动形式，用组合等效值 k_py、k_gy和 c_py、c_gy来表示传动轴、轴承和箱体等支撑刚度和阻尼。引入接触算法，计算齿轮啮合刚度，采用图 1（b）所示模型，依次计算齿轮副各个啮合位置的刚度；对于齿轮误差采用简谐函数进行模拟，并假设从齿根到齿顶的误差为正弦分布^[8]。

 

这时，动力学模型可表现为一个二维平面振动系统，把齿面摩擦忽略掉，而且齿轮的动态啮合力沿啮合线方向作用，因此现在它是一个具有 4 自由度的模型，分别是主、从动轮的旋转自由度和 Y 方向的平移自由度，则系统的广义位移向量可表示为：

 图2  直齿轮系统动力学模型

 

各齿轮沿扭转自由度与 Y 方向的位移均会使轮副啮合状态发生改变，故齿轮各自由度位移在啮合线上的投影为：

 

式中：主、从动齿轮的基圆半径分别用 R_p，R_g表示。

 

轮副的啮合力和啮合阻尼力，可表示为：

  

式中：k_m—齿轮啮合刚度；c_m—齿轮啮合阻尼；e—误差。

 

因此齿轮副动态啮合力 F_pg为：

 

F_pg=F_k +F_c           （3）

 

依据达朗博原理有：

 

 

式中：m_i，I_i（i=p，g）—主、被动齿轮的质量和转动惯量；F_p、F_g—主、被动齿轮上的轮齿动态啮合力；T_p—输入扭矩；T_g—输出扭矩。模型具体参数，如表 2 所示。

 

表2   直齿轮系统动力学模型参数

 

支撑阻尼系数 α 取值在（0.07~0.5）之间。

 

2.3 齿轮副碰撞力计算

 

当传动系统负载不存在，或者负载很小直至为零时，主动轮和从动轮相互接触的两个齿面产生瞬时碰撞作用，由于较小的负载，当主动轮给予从动轮一个速度时，从动轮瞬时加速，此时与主动轮发生分离，很难继续保持贴合，就此形成一个周期循环的过程。在该过程中，齿轮的碰撞力合力依靠轮齿的相互接触来传递，采用 Hertz 接触力学模型可以描述接触面之间的弹性作用。此时，齿轮副碰撞振动模型，如图3 所示。图中齿轮副两齿面由接触弹簧连接，kc 表示齿面接触刚度。

图3  齿轮副碰撞振动模型

 

由于齿轮啮合过程中，两个影响因素：误差与结构变形的存在，理论啮合线方向已没有齿轮啮合力的作用，但是考虑误差因素对系统的影响比较小，所以在齿轮接触力的求解过程中，假设齿轮啮合作用仍然是在理论啮合线方向产生的，则可用会发生相互碰撞的质体[9]来代替这两个接触轮齿，接触面法向为啮合线方向，考虑到材料阻尼，广义的 Hertz 公式具有如下形式：

 

式中：两个质体的接触面法向相对形变量用 δ 来表示，相对接触速度用δ觶来表示，非线性指数用 n 来表示。阻尼系数为 D（x）=λxⁿ，其中 λ 表示为滞后阻尼系数。k_cpg—弹性力学中的Hertz 刚度，它取决于材料特性和曲率半径，可表示为：

 

式中：主动轮与从动轮齿廓曲率半径分别为 r_p=13.3471mm，r_g=26.1835mm；弹性模量和泊松比分别为 E_i=2.06e¹¹Pa，v_i =0.3。现以能量关系为依据，确定滞后阻尼系数 λ 与碰撞前后的速度关系，基于 Newton 回复系数 e_N，对碰撞期间系统的动能损耗进行计算：

式中：—齿轮副的等效质量。此外根据文献^[9]中双质体正碰撞中 Hertz 接触力的滞后形式图，碰撞导致的能量损耗也可沿滞后环进行积分获得，即：

式中：恢复系数和滞后阻尼系数之间满足：

 

现在只要知道碰撞前的速度和碰撞后的速度，那么对于最大齿轮接触面的压入变形量 δ_m和它们之间的接触时间就能确定下来，在压缩段，两个质体的运动方程为：

 

在压缩阶段，对上式积分，有：

 

这里=v_p0-v_g0，在压缩结束时，相对压缩量达到最大值δ_m，而，因此：

 

上式揭示了接触力与恢复系数、碰撞前后速度的关系。

 

根据文献^[9]，研究复杂系统碰撞动力学问题可用质体碰撞来代替，该对齿轮副发生瞬时碰撞作用，故可用双质体正碰撞问题来计算齿轮副碰撞力。

 

2.4 计算结果

 

定义主动轮输入转速为 1000r/min，负载扭矩 T=0，通过计算得到齿轮副碰撞力，如图 4 所示。在负载为零的情况下，齿轮副出现了主动轮齿面接触与齿背接触的双侧碰撞现象，该碰撞过程中主动轮正侧齿面碰撞从动轮齿面，驱动从动轮开始转动，但是由于负载较小，所产生阻滞力矩小于碰撞冲击所产生的惯性力矩，即有：

 

式中：T_drag—阻滞力矩，由从动轮阻尼力与负载力矩决定。

 

则齿轮副发生碰撞振动现象，此时主动轮齿面无法与从动轮始终保持贴合状态，瞬时从动轮加速旋转，速度会瞬时超过主动轮，并且与主动轮分离，如图（a）中 A 点位置，由于齿侧间隙的存在，从动轮经历短暂的脱啮，该过程中不产生作用力。随后，从动轮齿面逐渐接近主动轮齿背，并再次发生齿背碰撞，这时从动轮转速迅速减小，并小于主动轮转速，此后从动轮齿面又与主动轮齿背分离，再次脱啮如图 4（a）中 B 点位置。最后，从动轮再与主动轮发生齿背碰撞，以此循环推动从动轮旋转。

 

图4  转速为 1000r/min 时齿轮副碰撞力

 

齿轮副碰撞力频谱，如图 4（b）所示。图中：f_m—啮合频率成分；f_1/3—1/3 次次谐波成分，可以看到频谱中出现 1/3 次谐波成分，并且为主要频率成分。

 

3  转速对齿轮副碰撞振动的影响

 

为了解转速对齿轮副碰撞振动的影响，计算了在零负载条件下，主动轮转速由 100r/min增加到 1000r/min 时，此时轴承载荷随着各齿轮 Y 方向的位移而变化，可用计算公式：

 

f=k_iy y_i，i=p，g         （17）

 

得到轴承动载荷，因此碰撞力与轴承载荷波动幅值的变化，如图 5 所示。

图5  各转速下碰撞力与轴承载荷幅值的变化

 

整体来讲，在转速从小到大的过程中，从动轮齿面相对于主动轮齿面的速度也逐渐增大，齿面间的碰撞力波动幅值也随之增大。当转速较小时（<500r/min），主动轮与从动轮齿面相对速度较小，故碰撞力波动幅值也较小，随着转速的增大，其增大趋势较为平缓；当转速较大时（>500r/min），主动轮与从动轮齿面相对速度较大，碰撞力也较大，随着转速的增大，其增大趋势明显加快。

图6  各转速下碰撞力瀑布图

 

在齿轮副啮合过程中，传动系统的主要振动激励成分是由动载荷啮合频率及其倍频成分分别构成的，并且啮合频率与倍频成分与转速均呈线性比例关系（啮合频率 f_m =n·z/60），故齿轮副正常啮合时，其动载荷主要频率成分呈现规律的发射状分布，其他频率成分较少。相对比而言，在齿轮副碰撞振动阶段频率成分更为复杂，主要频率成分较为凌乱，虽然也存在各啮合频率成分与倍频成分，但均不是主要激励成分也并不明显。而在转速在500r/min 以上时，出现次谐波频率成分，并且其峰值大于其他频率成分，其中，包括500r/min 时 1/2 谐波成分，600 r/min 时 1/5 谐波成分， 1000r/min 时 1/3 谐波成分等。

 

4  负载对齿轮副碰撞振动的影响

 

负载的大小将直接影响齿轮副啮合状态，计算了齿轮副动载荷与轴承动载荷波动幅值随幅值的增大变化趋势，如图 7 所示。其中，曲线 a—碰撞力波动幅值；b—轴承动载荷波动幅值，可以看到，在转速为 1000r/min，负载由 0 增大至 50N·m 过程中齿轮副经历了较大波动，而整个过程可以划分为负载为（0~12） N·m时齿面双侧碰撞，负载为（12~30） N·m 单侧碰撞，以及负载为大于 30N·m 正常啮合三个阶段。

图7  各负载下碰撞力与轴承载荷幅值的变化

 

4.1 双侧碰撞阶段

 

该阶段负载较小，齿轮副出现齿面碰撞与齿背碰撞现象，两种碰撞交替出现，齿轮副碰撞力，如图7 所示。在该阶段随着负载的增加，从动轮在主动轮齿背碰撞之后，从动轮转速迅速较小，再加上负载的作用，增大了主动轮与从动轮的相对速度，故在该阶段随着负载的增大，齿轮正齿面碰撞力幅值将逐渐增大。在该阶段，齿轮副脱啮时间与齿背碰撞力幅值随负载的变化，如图 8 所示。可以看到在双侧碰撞阶段，随着负载的增加齿面碰撞及齿背碰撞后脱啮时间均逐渐减小。同时由于负载的增加会使阻滞力矩增大，在齿面碰撞后两齿轮齿背相对速度会减小，故齿背碰撞力幅值随负载的增大逐渐减小，直至 12N·m 时，齿轮副不再发生齿背碰撞。

图8  各负载下的脱啮时间与齿背碰撞力幅值

图中：a—齿面碰撞后脱啮时间变化；

b—齿背碰撞后脱啮时间；

c—单侧碰撞时齿轮脱啮时间；

d—双齿啮合时齿背碰撞力幅值。

 

4.2 单侧碰撞阶段

 

在负载大于 12N·m 时，齿轮副将不再出现了双侧碰撞现象，仅存在正齿面碰撞，即主动轮齿面与从动轮齿面碰撞，该碰撞过程中主动轮正侧齿面与从动轮齿面发生碰撞，驱动从动轮开始转动，从动轮瞬间加速，并且转速瞬时超过主动轮，使两齿面产生脱离，从动轮在齿侧间隙中经历短暂的脱啮状态，此时齿轮副碰撞力为零，如图 9 所示。由于齿轮副在每个碰撞周期都存在脱啮现象，在脱啮时从动轮没有外力作用，从动轮经历了短暂的匀速运动。从频谱上看，在该阶段齿轮碰撞力主要频率成分由 1/3 次次谐波成分转变为 1/2 次次谐波成分，其他频率成分还有啮合频率及其倍频成分。

 图9  单侧碰撞阶段齿轮副碰撞力

图中：a—碰撞力；b—从动轮转速。

 

在该阶段，由于负载的作用使从动轮在脱啮过程中转速逐渐减小，使两齿轮正齿面碰撞速度愈发的剧烈，故负载增大的条件下，主动轮和从动轮碰撞力幅值也逐渐增大。齿轮副脱啮时间变化，如图 8 所示。当齿轮副由双侧碰撞转变为单侧碰撞时，脱啮时间阶跃式增大，随着负载的增加，脱啮时间逐渐减小，直至负载到达碰撞振动门槛值，脱啮时间减小为 0，齿轮副不再发生碰撞振动。

 

4.3 正常啮合阶段

 

在负载大于齿轮碰撞振动门槛值 28N·m 时，齿轮副啮合力如图 10 所示。齿轮副啮合力不再出现脱啮及碰撞振动现象，齿轮副进入正常啮合阶段，齿轮啮合力与轴承载荷均呈现象变化。

图10   齿轮副啮合力

图中：a—碰撞力；b—从动轮转速，

 

5  结论

 

(1)提出了一种在轻载条件下，运用Hertz 接触理论求解齿轮副碰撞力的齿轮传动系统建模方法。（2）轻载条件下，齿轮副出现碰撞振动现象，其啮合力频谱中出现次谐波成分。（3）轻载条件下，当系统输入转速较小时，随着转速的增大，齿轮副碰撞力增大趋势较为平缓；当转速较大时，齿轮副碰撞力增大趋势明显加快。（4）负载从小增大的过程中，可将齿轮碰撞振动划分为三个阶段，分别为双侧碰撞、单侧碰撞、以及当达到碰撞振动门槛值时齿轮的正常啮合。

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