单位脉冲函数及卷积（杜哈梅积分）——从常微分方程的解出发理解

• 个人学习总结，恳请指出错误。
• 参考资料见文后，文中引用格式为“作者+页码”、“作者名年份+页码”等。
• 
  

-----前言-----

单位脉冲函数（Dirac函数）在一般的数学物理方法书籍中有详细的介绍。对于该函数的工程应用，在自动控制原理中，可以通过一个系统对单位脉冲激励的响应（脉冲响应）的表现，来判断系统的时域稳定性等性质。但是直接求一个系统的脉冲响应不那么容易，往往借助拉普拉斯变换及其逆变换，才能表示出系统的脉冲响应。单位脉冲激励能有这个应用，在于其自身的拉氏变换为常数1，所以系统脉冲响应的拉氏变换就是系统的传递函数，在时域用脉冲响应评价系统，相当于直接评价系统的传递函数。当然，这是后话，后续笔者拟总结一下拉氏变换。

在信号与系统中，单位脉冲函数的最大的作用是引出了卷积积分的定义。笔者是通过郑君里的《信号与系统》了解这一点的，但是我觉得该书相关推导过于复杂，不易理解。另一方面，在结构动力学中，单自由度系统的振动微分方程起着至关重要的作用，可以说是理解结构动力学的基石。在这门学科中，比较注重方程的解，相关理解也很具象和容易。本文拟从二阶常系数微分方程的解出发，深入理解卷积的内涵。

-----LTI系统响应的分类-----

传统来说，LTI系统常微分方程的解为齐次解和特解之和。除此之外，还可以将方程的解形式上分为零状态解和零输入解，它们的意义分别为（郑君里P60）：

郑君里P63指出：

而叠加性和均匀性非常重要。

郑君里P62给出了一个一阶微分方程的解按齐次/非齐次、零状态/零输入分类的例子，为理解方便起见，我在其中略有备注：

-----二阶方程的解：杜哈梅积分（卷积）-----

对于结构动力学中经典的弹簧振子系统，其具有二阶微分方程：

直接求解该方程的完全解是很难的，只能写出其齐次通解（王新敏P46式3-10），该通解的系数由初始条件决定：

杜哈梅解决了这个问题（我猜他这么解决的），并发展出了结构动力学中的杜哈梅积分，其实就是卷积。我们不妨以观棋者的视角来理解下这个思路：由前所知，LTI系统的零状态解是可叠加的，那么不妨认为该方程的解可以由无数个特定的零状态解叠加而成。如果将F(t)当成成无数个单位脉冲激励的叠加，那么只要求出方程在单位脉冲激励下的零状态解，就可以按照一定方式将它们加起来（积分）即可。单位脉冲激励下的零状态方程为（王新敏P206）：

然而，要求出该方程的解仍然是困难的，其实难度没变，只是现在激励变成单位脉冲激励了，性质上仍然是求二阶非齐次常微分方程。好在现在有两个有利条件：1）由前述可知，方程的零输入解只需要将初始条件代入齐次通解即可得到；2）最为关键的是，单位脉冲的特性允许我们将该方程改造成零输入（非零状态）方程。王新敏P206给出了这个过程：

现在我们得到了激励为单位脉冲载荷时的零状态解。当系统激励为F(t)（或者下图中的p(t)）的时候，就可以将系统的脉冲零状态相应叠加起来，如下图：

可以看出，该图也完全阐述了卷积积分的内涵。

总结（通俗理解）：假设系统的任意激励为u(t)，需要求其响应x(t)，则x(t)=u(t)*h(t)=∫u(τ)h(t-τ)，积分范围[0,t]，h(t)是系统对单位脉冲函数δ(t)的响应（会衰减）。其实h(t-τ)表示系统在积分域的τ时刻（0时刻为起点，t时刻为当前时刻，0≤τ≤t）被作用单位脉冲激励，经过t-τ时程后在t时刻的响应。τ时刻作用的是u(τ)个单位脉冲激励，根据线性系统的叠加原理，这u(τ)个单位脉冲激励在t时刻的响应为u(τ)h(t-τ)。站在t时刻（当前时刻）观察到的响应是从0时刻开始到当前这期间所有作用的单位脉冲激励在当前的响应的叠加，所以就需要对u(τ)h(t-τ)从0到t进行积分。由此推广到一般情形，任意两个函数卷积时，其积分表达式表示其中一个函数在积分点τ的值乘以另一个函数在t-τ的值。任意两个函数f(t)*g(t)的卷积对应着一个系统，该系统在单位脉冲激励下的响应为f(t)（或g(t)），而卷积f(t)*g(t)就表示该系统在g(t)（或f(t)）为激励时下响应。

参考资料：

王新敏《ANSYS结构动力分析与应用》人民交通出版社，2014.

郑君里《信号与系统上》第三版，高等教育出版社。