一种新颖的多尺度晶体塑性实现方案-------Direct FE2

参考文献:《A novel concurrent multiscale method based on the coupling of Direct FE2 and CPFEM》

文章doi：10.1016/j.tws.2024.112610

Direct FE²（Finite Element Square）多尺度模拟方案是一种常用于材料科学中的数值模拟方法，特别适用于研究复杂的材料行为（如晶体塑性、微观结构演化等）。它结合了微观和宏观两个尺度的有限元分析，能够在多尺度上捕获材料的细观力学响应。

Direct FE² 的原理：

Direct FE² 是一种强耦合多尺度方法，其核心思想是在每个宏观积分点处嵌套一个细观有限元模型，以实现宏观响应与微观行为之间的直接相互作用。

1. 宏观有限元（FE）模型：

• 描述宏观结构的整体变形和力学行为。
• 宏观模型的单元中积分点的材料行为由微观模型提供。
• 宏观模型中的应力、应变是由微观模型的细观响应直接计算得到。

1. 微观有限元（RVE）模型：

• 微观模型（通常为代表性体积单元，Representative Volume Element, RVE）用于描述材料微观结构，如晶粒、裂纹、孔洞等。
• 通过微观有限元模拟，计算微观应力和应变场，以及其等效宏观响应。
• 微观模型会受到来自宏观模型的边界条件（如位移或应力）的驱动。

1. 宏微耦合：

• 宏观积分点传递的变形梯度作为边界条件输入到微观模型。
• 微观模型计算得到的等效应力或切线刚度返回到宏观模型，用于更新宏观求解。
• 这种双向耦合的计算流程在每个加载步中反复迭代。

Direct FE² 的计算流程

1. 在宏观有限元模型中，计算每个单元的变形梯度 FFF。
2. 将变形梯度 FFF 传递到对应的微观RVE模型中，作为其边界条件。
3. 在微观RVE模型中，通过有限元分析计算微观应力 σ\sigmaσ 和刚度矩阵 CCC。
4. 将等效的微观响应（如应力）返回宏观模型，完成宏观求解。
5. 更新宏观位移场，进入下一加载步，重复以上步骤。

Direct FE² 的特点

• 强耦合性：
•  微观模型直接嵌套于宏观积分点，显式耦合微观和宏观响应。
• 细观精度：
•  可以捕获复杂的微观行为（如晶粒滑移、孪晶、位错等），并传递到宏观层面。
• 高计算成本：
•  由于每个宏观积分点都需要运行一个独立的微观模型，计算代价显著增加。
• 并行化潜力：
•  微观模型计算可以通过并行计算加速。

具体实现过程可以参考作者的原始文章和下图的流程框图

使用作者的文章思路，分别测试了二维和三维的FE2多尺度晶体塑性模型。通过耦合积分点和多晶RVE模型实现尺度的模拟效果，宏观模型的积分点提供变形梯度用于微观RVE模型的边界条件，微观模型通过边界条件计算应力，状态变量，并返回一致性雅可比矩阵，模拟效果如下：

Direct FE² 对应的二维模型和三维模型如下图所示

施加X方向的单轴拉伸，二维和三维的变形结果如下图所示：

二维模拟效果：

三维模拟效果：