平面透镜丨从光滑表面到菲涅尔、衍射和超透镜的演变（Frank Wyrowski教授）

从光滑表面到菲涅尔、衍射和超透镜的演变

Frank Wyrowski

2025年1月

摘要

摘要

在光学设计中，通常使用两种介质之间的光滑界面来塑造波前。 球面和非球面界面用于在成像系统中创建透镜和反射镜。 在非成像光学中，自由曲面被用来故意引入特定的像差以塑造光的能量分布。 在每种情况下，表面都将入射波前的相位转换为符合设计标准的特定输出相位。

平面表面可以实现通常通过光滑表面进行的相同相位变换。本文探讨了设计平面透镜的基本原理，包括菲涅尔透镜、衍射透镜和超透镜。

所有示例均使用VirtualLab Fusion (VLF) 软件进行。新引入的技术和功能计划于2025年发布到VLF。如需了解更多发布详情或有关超透镜设计和建模的疑问，请联系support@infotek.com.cn。  

本文源自Frank Wyrowski在2024年5月22日Photonics Media网络研讨会上发表的“平面透镜：从光滑表面到菲涅尔、衍射和超透镜的演变”的演讲记录和幻灯片。请参阅slides.pdf文件以查看所有幻灯片图像。

01

平面透镜的潜力与局限性 

幻灯片 #2-5

在本文的开头，我打算探讨一个问题：将平面透镜集成到光学设计中可以期待什么样的结果？为了回答这个问题，有必要介绍一些与平面透镜讨论相关的透镜设计基本原理。每个透镜都旨在转换一个或多个入射波前。在成像中，通常转换球面和平面波前。透镜的功能由其预期执行的转换定义。这些信息通过所谓的功能透镜得以保存，并可用于建模和设计。功能透镜通过一组输入相位及其相应的输出相位（也称为信号相位）提供所有转换的详细信息。仅涉及一对波前相位的转换称为单场转换。另一方面，当涉及多对波前相位时，该过程称为多场转换。

图1：幻灯片#5

幻灯片 #6-7

在一个基本的成像场景中，功能透镜指定了将发散的球面输入波前相位转换为会聚的球面输出波前相位。本文将集中讨论与单色光相关的转换。我推荐参考Kleemann等人的工作，该工作基于应用于单色光的技术，提供了设计用于多色光的平面光学的见解[2]。

从功能透镜的规格开始，设计透镜表面的目标是用一个物理透镜替代功能透镜，以实现指定的单场或多场转换。在近轴近似内，表面的设计通过单个球面解决。

幻灯片 #8-13

让让我们详细研究实现单场转换的单个透镜表面的设计。透镜表面的设计可以基于物理光学的原理，即电磁场的相位在不同介电介质之间的界面上保持不变。这一陈述是折射定律的另一种表达方式。我们得出表面设计方程：

图2：幻灯片#8

（1）

常数相位可以进行调整，以确保表面与指定的参考点相交。

图3：幻灯片#11

我们从图3中指定的示例开始。通过数值求解设计方程，得到了实现所需变换的表面S。虚线表示入射场的大小，由此我们确定了表面厚度，如蓝色区域所示。需要注意的是，透镜表面的扁平化不会影响物体和像平面的距离，因此系统的长度保持不变。

幻灯片 #14-16

接下来，我们检查一个离轴场，并使用两个不同的参考点进行表面设计。得到的表面如图4所示。正如预期的那样，由不同物体点生成的表面有些不同。因此，单个表面无法解决多场变换问题，并且会为除设计波前之外的任何输入波前生成像差。因此，必须包含额外的表面来平衡像差，并以足够的精度实现所需的多场变换。没有证据表明平面透镜可以消除这一要求。

图4：针对两个不同参考点的轴上（蓝色）和轴外（红色）物体点的表面设计。

图5：幻灯片#17

幻灯片 #17-18

需要注意的是，文献中提到了一些配置，其中场重叠但占据不同区域，作为校正平面透镜像差的一种方法。当然，设计用于像平面附近像差控制的透镜表面比位于光阑和光瞳附近的透镜更具优势。然而，这同样适用于平面和“厚”透镜表面。这一点在图5所示的手机相机镜头系统中表现得尤为明显。

为了进一步了解，让我们考虑光束扩展器的设计。在这种情况下，需要一个初始透镜将入射的平面相位转换为会聚或发散的球面相位。这里展示了发散的情况。第二个透镜用于准直入射光，从而将球面相位转换回平面相位。因此，使用两个透镜是必要的。光束扩展的程度由透镜之间的距离d及其数值孔径决定。透镜的扁平化不会改变这一结果。

幻灯片 #19-29

这些观察得出以下结论：

-平面透镜减少了透镜的厚度和重量。

-平面透镜的薄型轮廓可能为减少透镜表面之间的间距提供更多选择。

-平面透镜的制造方法与传统透镜不同，这在特定情况下可能带来优势。

-平面透镜可能为可切换透镜提供新的机会。

-用平面表面替换厚透镜表面会改变系统中的像差动态，这可能会根据具体情况增强像差校正的可能性。

-使用具有强烈且相反色差的衍射透镜来抵消光滑透镜表面的色差，是这种潜力的一个充分记录的实例。

-平面透镜的某些特性，如其偏振敏感功能，可能根据其用途被视为有益或有害。

-没有证据表明平面透镜（包括超透镜）能够减少系统的总长度或光学系统中的透镜表面数量，超出非球面和自由曲面所能达到的范围。

幻灯片 #30-38

最终，平面透镜为光学设计工具阵列提供了一个显著且引人注目的补充。平面透镜的实用性因其应用背景的不同而有显著变化。总之，将平面透镜技术集成到透镜设计工作流程中，以充分理解和利用其能力至关重要。现在是时候实际评估平面透镜的潜力，而不仅仅是停留在理论讨论上了。以下两个工作流程至关重要：

工作流程 #1：

1. 根据指定的功能透镜进行平面透镜的结构设计。

2. 评估平面透镜的性能。

3. 收集并导出透镜数据以满足制造需求。

工作流程 #2：

1. 用平面透镜替换“厚”透镜表面。

2. 评估包含平面透镜的系统的功能。

3. 促进系统优化。

将平面透镜集成到透镜设计工作流程中，需要在理论基础和光学软件的实现方面取得重大进展。在不同软件产品之间引入数据接口并不能提供所需的解决方案。

在光学软件的进步中，必须实现三个基本目标：

1. 开发高效且用户友好的平面透镜设计算法。

2. 能够以足够的精度和速度模拟包含平面透镜的透镜系统。

3. 促进包含平面透镜的光学系统的优化。

在LightTrans，我们致力于增强我们软件VirtualLab Fusion的平面透镜功能，以在2025年之前实现这些目标。本文集中讨论第一个目标。有关所有目标的全面探讨，请参阅我们关于超透镜的论文[6]。

02

平面透镜高度轮廓的设计

幻灯片 #39-46

首先，我们研究使用高度轮廓构建的平面透镜。我们对平面光学设计的探索从研究平面波如何从输入方向向量转换为信号方向向量开始。通过使用表面设计方程来确定适当的表面设计：

（2）

通过解析求解设计方程，可以得到一个平面表面。这一结果完全在预料之中。虚线表示入射光束，光束与平面界面相交的区域用蓝色突出显示。减小该区域的宽度可以清楚地看出，界面仅在所需孔径的一小部分中可用。因此，需要额外的表面来实现平面解决方案。除了我们已有的解决方案外，还存在其他满足设计方程的替代解决方案。

（3）

因为对于相位值，当为整数时，等价于 0。图6中展示的解决方案仅由平行平面组成。参数 用于控制这些解决方案之间的间距，当设置为时，间距最小。现在，我们在狭窄的蓝色区域内拥有了足够多的解决方案。

图6：幻灯片#44

幻灯片 #47-55

基于输入方向向量，首先使用一个平面形成一个三角形，随后在蓝色区域内通过额外的平面进行连续构建。这种方法为针对任何给定输入和输出方向对的光栅轮廓提供了解析公式。的选择决定了光栅的高度和周期，其中可实现两者的最小值。该方法可应用于透射和反射场景。这种光栅设计方法计划于2025年在 VirtualLab Fusion 中发布。

图7：幻灯片#54

幻灯片 #56-59

我们现在继续讨论涉及平面和球面相位轮廓转换的更广泛场景。由于转换由功能透镜指定，透镜表面的形状通过表面设计方程的数值解析确定。蓝色区域表示透镜表面的深度。减小该区域的厚度可以清楚地看出，在较薄的平板中，大部分区域没有可用的表面来执行转换。为了实现平面透镜，需要额外的表面，这些表面可以通过数值解析得出。

   （4）

其中 是一个整数（）。参数用于调整平面透镜的厚度，当设置为时，可以得到最薄的配置。

图8：幻灯片#61

幻灯片 #60-63

平面透镜的设计过程从建立基线并确定其与表面的交点开始。在每个交点处，沿着局部方向开始绘制一条直线，并确定其与后续表面的交点。通过在整个透镜孔径上应用此方法，可以识别薄平板内平面透镜表面的区域。

这一概念使得设计平面透镜表面的快速且灵活的算法成为可能。该方法适用于涉及透射和反射的场景，并且在是否假设旋转对称的情况下都有效。该设计算法已集成到我们专有的 VirtualLab Fusion 软件中，并计划在 2025 年的更新中发布。

图9：幻灯片#75

幻灯片 #64-81

现在让我们考虑设计算法的一些示例应用。尽管该设计方法非常适用于实际场景，但提供的示例旨在展示设计算法的功能，以用于说明目的，而不是直接用于现实世界的应用。首先是一个聚焦透镜的示例，展示了基线和区域的构建。在这种情况下，导致透镜厚度约为 2 µm。在接下来的准直场景中，选择可实现约 50 µm 的透镜厚度。在这种情况下，设计导致侧壁明显倾斜。接下来，我们考虑一个轴向场的成像示例。设计算法非常灵活，允许设置区域的最小横向尺寸，同时允许增加局部高度（见图 9）。这种方法已有效地应用于 Meta 的 Oculus VR 眼镜中使用的平面透镜。设计算法允许将透镜功率分布在弯曲和平面透镜表面轮廓上。为了实现这种组合，我们从弯曲基线开始，并遵循与直线基线相同的程序。图 10 显示了一个示例。

幻灯片 #82-84

这些示例表明，我们开发了一种专门用于平面透镜高度轮廓的设计算法。根据其高度轮廓工作的平面透镜通常被称为：

图10：幻灯片#81

- 菲涅尔透镜（适用于较大的）

- 衍射透镜（适用于）

- 超区域衍射透镜（适用于较小的）

对于衍射透镜，高度轮廓可以被离散化，以便通过二元光刻技术进行制造。接下来，我们将讨论利用超表面的平面透镜设计。

03

超透镜设计 

幻灯片 #85-88

图11：幻灯片#88

在设计用于可见光的衍射透镜时，会获得厚度约为 1 µm 的层。从 的衍射透镜设计中可以清楚地看出，该层通过引起与相位差匹配的局部相位延迟，将转换为，其中且。衍射透镜通过变化的高度轮廓实现这种局部相位延迟，如图 11 所示。

图12：幻灯片#89

幻灯片 #89-93

或者，考虑一种具有恒定厚度但折射率在横向维度上变化的层。图 12 展示了这种情况。折射率的变化是相位差的原因，可以用以下方程大致描述：

（5）

为了继续讨论，我们考虑二维空间中的折射率分布。接下来，假设横向变化是以像素化的方式实现的，而不是连续的，从而得出：

（6）

位置建立了一个适当的网格，例如笛卡尔网格。超表面利用每个像素上的高折射率纳米结构，放置在较低折射率的基底上，以实现局部折射率和相关的相移。这一概念要求像素之间的距离小于波长。结果产生了一个由每个像素的适当纳米结构组成的超表面。

幻灯片 #94-100

这种方法已经被认识了一段时间，但最近重新引起了兴趣 [1, 3]。通过多种理论方法研究了生成相位延迟的过程，这些方法在每像素使用的纳米结构的类型和形式上有所不同。为了初步了解，可以考虑阅读 Lalanne 和 Chavel 的综述 [4]。此外，推荐阅读 Yang Fan 等人的信息丰富的教程，其中包含许多额外的参考文献 [5]。

图13：幻灯片#100

设计超透镜的基本步骤包括：

1. 选择纳米结构：通常称为元原子或元胞，选择与您的制造工具或合作伙伴能力相符的纳米结构。

2. 分析纳米结构的相位延迟：根据结构参数（如高度、尺寸、方向）分析纳米结构的相位延迟，并获取元胞在位置处对入射场的相位延迟数据。

3. 确定参数：为每个像素找到满足以下条件的参数：

（7）

4. 组装超透镜：将选定的元胞放置在网格上的每个位置。

幻灯片 #101-102

上述超表面设计方法可通过 VirtualLab Fusion 软件实现。开发工作正在进行中，新功能计划在 2025 年的更新中发布。图 14 展示了一个示例，展示了使用上述算法构建的超透镜的聚焦能力。

图14：幻灯片#102

幻灯片 #103-117

在讨论的结尾，我们展示了一个示例，其中我们利用了由旋转纳米鳍制成的超透镜的偏振敏感性。如需深入分析，请参阅我们的超透镜出版物 [6]。我们将超透镜放置在一个厚透镜前面，旨在研究组合透镜的焦点如何根据输入偏振而变化。超透镜通过一个快速且近似的模型进行模拟，展示了超透镜的偏振敏感焦距，同时忽略了一些杂散光的影响。该建模方法与 VirtualLab Fusion 中使用的先进快速透镜系统建模技术兼容。所选的建模精度和速度之间的平衡允许在几秒钟内模拟系统。

首先，我们展示了一个模拟，其中包含一个纳米鳍超透镜和一个功能聚焦透镜。模拟提供了检测平面上的光线路径和辐照度分布。为了增强第二个检测器平面上的光可见性，我们调整了该检测器窗口的比例设置。将偏振改为左旋圆偏振光会改变焦点位置。切换到线性偏振光会导致形成两个焦点。

接下来，我们使用透镜制造方程将功能聚焦透镜替换为球面透镜。在这个包含超透镜和球面透镜的组件中，显著的球面像差会移动焦点。为了最小化像差，我们将球面透镜替换为非球面透镜。现在我们获得的结果几乎与功能透镜一致。有关使用线性偏振入射光获得的结果，请参见图 15。

该示例展示了通过适当选择建模精度和速度之间的平衡来探索超透镜有效性的方法。

图15：幻灯片#116

04

结论

幻灯片 #118

平面透镜是光学设计工具包中一个重要且引人入胜的增强，特别是在成像和照明领域。平面透镜的有效性和实用性高度依赖于它们的应用环境。最终，将平面透镜技术纳入透镜设计工作流程中，以充分理解和利用其潜力是至关重要的。在 LightTrans，我们致力于通过我们的软件 VirtualLab Fusion 在 2025 年实现这一重要目标。敬请期待更多更新！