考虑晶界影响的晶体塑性模型 原创

文章名称《Simulation of polycrystal deformation with grain and grain boundary effects》

DOI：10.1016/j.ijplas.2011.03.001

做多晶材料模拟时，我们经常会遇到一个很现实的问题：晶粒尺寸明明会显著影响强度，但在普通晶体塑性有限元模型里，这个效应并不会自然出现。

传统 CP-FEM 可以很好地描述晶粒取向、滑移系活动、应力应变不均匀性，但如果不额外加入某种长度尺度，它通常很难预测“晶粒越小、强度越高”的 Hall–Petch 效应。于是很多模型会选择加入一个经验项，比如 (K/sqrt{d})，这样当然有效，但物理图像多少有些不够清楚：晶界到底是怎么影响位错运动的？不同晶界为什么会产生不同的阻碍作用？滑移能不能从一个晶粒传到另一个晶粒？

Simulation of polycrystal deformation with grain and grain boundary effects这篇文章最有意思的地方在于：作者并不是简单把晶界当作一层“硬壳”，而是尝试从位错运动、晶界阻碍和滑移传递的角度，重新建立晶界强化的物理图像。

作者提出的是一个“两尺度模型”。第一层是我们熟悉的晶粒尺度模拟，也就是基于有限元的晶体塑性计算。它负责求解每个晶粒、每个单元中的应力、应变、滑移量和位错密度演化。第二层是介观尺度模拟，用来处理普通 CP-FEM 很难直接描述的部分：位错在晶粒内部的重新分布、由位错堆积产生的背应力，以及位错穿过晶界时受到的阻碍。

这篇文章里，最值得关注的是它对晶界的处理。作者使用滑移传递准则来判断一个滑移系上的位错是否容易穿过晶界进入相邻晶粒。简单来说，如果入射晶粒中的滑移方向和相邻晶粒中的某个出射滑移方向比较匹配，同时两侧滑移面在晶界上的迹线也比较匹配，那么这个晶界对该滑移系就是“比较通透”的；反之，它就更像一个强障碍。

于是，晶界不再只是一个统一的强化层，而变成了一个和晶界取向、两侧晶粒取向、入射滑移系、出射滑移系都有关的局部障碍。这个思想非常适合和晶体塑性模型结合，因为晶体塑性本来就是逐滑移系计算的。

在作者的模型中，晶界通透性可以进一步转化为晶界障碍应力。通透性越高，障碍应力越小；通透性越低，障碍应力越大。这样一来，晶界对塑性滑移的影响就可以直接进入滑移率方程：只有当有效分切应力足够克服晶界障碍时，晶界附近的滑移才能继续发展。

这篇文章的另一个重要部分是位错重分配。作者把有限元单元中的位错内容等效成“超位错”，再根据塑性滑移活动对可动位错进行重新分布，并计算由这些位错分布产生的背应力。这个处理很有启发性：它不是直接追踪每一根真实位错，那样计算量太大；但它也不是完全经验化地加一个强化项，而是在连续体模拟和位错物理之间做了一个折中。作者的模型概念图：

积分流程图：

从结果来看，作者的模型能够再现单个位错塞积问题中的位错密度分布；在二维和三维规则晶粒阵列中，也能预测出与实验同量级的 Hall–Petch 斜率。对于粗晶铁多晶拉伸响应，这个两尺度模型比传统 CP-FEM 或 Taylor 类模型给出了更好的预测。此外，作者还比较了 Fe-3%Si 柱状晶样品中的晶格曲率，模型预测的晶界附近曲率峰值与实验结果基本一致。

作者发现模型可以非常准确的预测晶粒尺寸效应：

我认为这篇文章的价值不只是“提出了一个更复杂的模型”，而是提供了一种很清楚的建模思路：晶界强化不一定只能通过经验晶粒尺寸项来描述，也可以从滑移传递、位错通量和局部障碍应力出发，逐步把晶界的物理作用放进晶体塑性框架中。

我们可以作者提出的模型完整的构建一个考虑晶界多尺度模型，演示如何计算每个滑移系对应的晶界通透系数，并将其转化为晶界障碍应力引入晶体塑性本构中。通过对比是否考虑晶界障碍项，可以观察晶界附近滑移活动、位错密度分布以及应变局部化特征的变化。

初始RVE模型如下：

一段固定一段沿着X方向施加位移载荷

变形结束后的应力分布：

等效塑性应变分布：

晶界通透系数（滑移系1）

晶界障碍强度（滑移系1）

总的位错密度分布：