一阶实体单元和二阶实体单元对比

本文原创，因为是自己的想法，难免有考虑不周的地方，如发现错误或者需要讨论请发送邮件至only_xiaofei@hotmail.com

前段时间一直在思考C3D20单元的存在意义，因为如果将C3D20单元进行三个方向的剖分（也就是将单元长度减小一半）。它与8个C3D8单元几乎是一致的，现在就来讨论下这两个单元。

C3D20的空间结构如下

它的形函数是这样的
8个顶点上的形函数为
（这部分和C3D8一致）
其它中点处的形函数为
相比之下，C3D8单元就显得很简单了

它的形函数也要简单很多
可以看出，C3D20单元在描述位移场的时候是二次的，而C3D8单元是一次，这会导致C3D20单元的边界会出现曲面（线），而C3D8只能为直线。
这样问题就变得简单了，如果单纯考虑两个单元的计算成本的话，那么一个C3D20单元和8个C3D8单元就是等效的，因为两个的刚度矩阵都是20X20阶的，两者在计算成本上没有任何区别，如果考虑积分点引起单元刚度矩阵的精度问题，8个C3D8单元拥有32个积分点，其精度一定是大于拥有27个积分点的C3D20单元的。此外，影响精度的还有边界的表达方式，实际模型的边界形状是类似于二次曲线的话，C3D20单元更有利于对位移场的描述。
如果考虑弯曲的话，C3D8单元在求解弯曲问题是有很大的剪切自锁误差，而C3D20单元由于拥有众多的积分点，可以大幅度削弱剪切锁定，但是由于C3D8单元的尺寸只是C3D20单元尺寸的一半，因此8个C3D8单元的误差与一个C3D20单元的误差相差多少，期待有人可以推导一下。