CFD湍流模型的技术探讨
CFD湍流模型的技术探讨
引言
湍流问题既是经典物理的世纪难题，又广泛存在于自然界和工程技术领域中，一直是制约CFD精确计算的瓶颈之一。第二届国际阻力预测会议(drag prediction workshop， DPW)对DLR-F6整机阻力的计算进行了系统研究，发现湍流模型、转捩模型以及网格对CFD计算结果的影响位居前三强，分别占到约15%， 11%和11%，可见湍流模拟的准确与否，极大地影响着CFD预报的精度。在可以预见的将来，基于雷诺平均Navier-Stokes方程(Reynolds averaged Navier Stokes， RANS)框架下的湍流模型由于其易实现性，高性价比以及强鲁棒性一直是应用CFD解决工程湍流问题的最实际、最有效的选择。美国NASA的气动专家Gatski甚至评述，湍流模型是20世纪CFD领域最重要的研究成果，是湍流模型支撑了CFD产业的发展。
在不可压缩流的雷诺平均N-S方程组中(可压缩流一般使用与雷诺平均类似的Favre平均)，平均动量守恒方程通过对脉动速度场的单点二阶统计矩(即雷诺应力)建立模型使其封闭。几十年来，人们发展了不同近似层次，种类繁多的湍流模型。依据雷诺应力的封闭方式，这些湍流模型主要分为两类：依据Boussinesq假设将雷诺应力与平均速度梯度联系起来的涡黏性模型(eddy viscosity model， EVM)以及求解雷诺应力完整微分输运方程的二阶矩封闭模型(second moment closure，SMC)，或称雷诺应力模型(Reynolds stress model，RSM)。随着这些单点关联模型应用的与日俱增，雷诺平均N-S方程自20世纪80年代就己逐渐取代了积分法成为工程湍流计算的基本工具。文献可见的湍流模型数量早己过百，并且文献中还不断涌现着宣称更加先进的湍流模型，但不幸的是，湍流模型和应用需求的迅速发展并没有对这一领域带来必然的积极影响，一方面是由于湍流模化是对人类智力的巨大挑战，新的模型并没有质的提高，目前仍没有一个普适模型能够适用于所有流场;另一方面是使用者很难掌握这些湍流模型的区别所在，不能够根据所研究流动的性质来选择较为合适的湍流模型。湍流模型的应用对使用者提出了较高要求，尤其是一些可操作性或者鲁棒性较差的高级模型。本文首先从模型构架角度对目前海量的湍流模型进行分类，以方便描述这些湍流模型的适用范围，为使用者提供参考，并介绍近年来湍流模型的最新研究进展，推介高性能、低使用门槛的湍流模型。
1 线性涡黏性模型
目前流行的湍流模型几乎全部是线性的涡黏性湍流模型(LEVM)。即使各向同性的线性涡黏性湍流模型有着与生俱来的固有缺陷，新的线性一方程和两方程模型仍然在不断地被构造出来，最重要的原因在于这些模型总体上是鲁棒易用的。另外，工程应用感兴趣的湍流大多是雷诺剪切应力主导的剪切流(特别是外流)，只需将雷诺剪切应力分量进行合理封闭，而联系雷诺剪切应力与平均速度梯度的Boussinesq假设通常是适用的。在2006年第36届AIAA流体力学大会上，来自波音的湍流模型大师Spalart声称，RANS的应用停滞在1992年的水平上，一方程的SA(Spalart-Allmaras)和两方程的SST (shear stress transport)模型“统治”了航空航天界(SA和SST均诞生于1992年)。这种观点虽难免过于偏激，但是几乎所有成熟的科研和商业CFD代码都集成了SA与SST，并且最受工程人员甚至科研工作者欢迎的也是这两个模型。SA模型的良好的鲁棒性是这一模型的突出优点，其输运方程隐式求解的时间步长可以取到非常之大而不导致计算发散，并且面对较为复杂的流动如低逆压梯度或小尺度分离，其预测结果也较为可靠。Menter考虑到k-ε模型的壁面计算奇性问题，以及k-w模型对来流湍流度的过度敏感，在近壁处采用k-w、在边界层外缘及自由剪切层采用k-ε以避开这两种模型的缺陷，并借鉴JK (Johnson-King)模型的思想，提出SST(shear-stress-transport)模型。该模型也具有良好的鲁棒性，但比起SA稍差。值得一提的是，SST模型对逆压梯度和小尺度分离的预测比SA模型更为出色。SA和SST的预测精度大部分情况下总是要好于其他的线性涡黏性模型(linear eddy viscosity model, LEVM)，当然也有例外，如标准k-ε模型更适用于激波-边界层作用流动。
还有一种非常流行的模型是代数模型，也就是零方程模型。所谓零方程模型就是直接用平均流动物理量模化涡黏性系数，而不引入任何湍流量的输运方程，这就意味着平均流场的任何变化立刻为当地的湍流所感知，因此不如一和两方程输运模型那样能够在一定程度上反映湍流的历史效应和非当地效应；但由于这种模型不用求解湍流量的输运方程，编程和计算时间被大大节省而受到了广泛的应用。例如，Prandtl的混合长模型就是一种零方程模型，目前应用最广泛的是对湍流边界层内层和外层采用不同混合长假设的BL (Baldwin-Lomax}模型。计算实践表明，只要流动是附体的，该模型一般都可以较好地确定压强分布，但是摩阻和热流的估算不够准确，要求不高的工程计算一般可以采用这一模型。
总之，线性涡黏性模型(LEVM)总体上具有良好的鲁棒性(k-ε稍差)及一定的计算精度，它们可以较好地适用用于非高超声速、轻微曲率/无曲率、无旋转、含小压力梯度/无压力梯度的壁面附着流动，以及非强剪切的自由剪切流动。
2 二阶矩模型
二阶矩封闭模型是从雷诺应力满足的输运方程出发，需要将方程右端的压力—应变速率、三阶速度关联项等未知项用平均流动的物理量和湍流的特征尺度进行模化，使雷诺应力输运方程封闭，而后直接求解雷诺应力。理论上，这种模型直接对恒成立的雷诺应力输运方程进行模化，给出的二阶矩将更能反映湍流流动的复杂流动机理。但是，建立二阶矩模型是一项更加艰巨的任务，它需要对数学和湍流物理有深入的知识，以达到数学和物理上的自洽。建立模型时也会不可避免地引入一些人为的假设，构造出来的模型性能虽然要好于线性涡黏性模型，其通用性也没能达到十分令人满意的程度。并且，二阶矩模型要求解6个非常复杂的非线性雷诺应力分量方程及附加的ε方程，计算量巨大，并且这些方程的求解具有很强的数值刚性，不易得到稳定的数值解，对使用者提出了更高的要求。由于这些原因，二阶矩封闭模型的研究并没有涡黏性模型那样普遍，文献可见的二阶矩模型远远少于涡黏性模型，这些模型也很少被用于工程计算。
3 非线性涡勃性模型
20世纪90年代兴起了一种介于LEVM和RSM之间的非线性涡黏性湍流模型(NLEVM)，它是湍流模型理论的重大发展。NLEVM将牛顿流体的湍流比拟于非牛顿流体的应力应变本构关系，实际上是对Boussinesq涡黏性假设的推广。在雷诺应力的通用本构关系表达式中，雷诺应力被表述成平均应变率和平均旋转率张量的高阶展开，其中二阶项能够反映流动的各向异性、三阶项能够反映流线的曲率和旋转效应。另外，一些学者还认为湍流模型的涡黏性系数也应该依赖于平均应变率和旋转率相关的张量不变量。NLEVM完全继承了LEVM的输运方程而不作任何改动，仅仅对LEVM的雷诺应力和平均应变的本构关系进行调整，因此模型的实现和使用代价远远小于RSM，并且兼有RSM某些方面的优势。例如，由于模型的构造遵从了雷诺应力与平均应变呈现的各向异性关系，NLEVM能够在一定程度上区分出雷诺应力(特别是正应力)的各向异性，从而对LEVM不能解决的流线弯曲、旋转、二次流动、逆压梯度、分离和再附等复杂湍流具有较好的预测能力。图1给出了对射流撞击壁面模拟获得的热传导预测结果，从中可以看出NLEVM的计算值与实验值吻合得很好，而LEVM则与实验偏差较大。
图1 射流撞击壁面中的热传导模拟
还有一类重要的模型也可被划分为NLEVM,被称作代数应力模型(algebra stress model, ASM)。这类模型是通过忽略雷诺应力的空间导数，合理地在RSM模型基础上进行了简化，根据雷诺应力方程中对流和扩散项的组合与湍动能方程相应组合的某种比例关系，对压力—应变率关联项和湍流耗散项进行模化得到的，因此ASM在形式上保留了雷诺应力输运方程中压力—应变率的影响，从而严格继承了雷诺应力的一些最重要的行为。由于ASM的求解也十分麻烦，Gatski等在Pope提出的显式求解雷诺应力思想基础上，进一步简化ASM，首创了显式代数应力模型(EASM)。实际上EASM与NLEVM在表达式形式上是完全一致的，不同的是模型的立论依据和推导过程:NLEVM直接对传统涡黏性模型进行改造，将雷诺应力表述为关于速度梯度的级数展开推导，使用典型实验或DNS数据标定模型系数；EASM则是从雷诺应力输运方程出发引入假设和简化推导得出的。理论上，理论得出的EASM应当比数据标定的NLEVM更为普适，但实际上NLEVM总体上要好于EASM，工程应用中NLEVM更为流行。现在人们较为推崇NLEVM中性能最好的三阶NLEVM，它们对于各种复杂湍流一般都能给出合理的预测，英国曼彻斯特大学的Craft等构造的CLS模型就是其中的翘楚。CLS模型参数是通过综合大量流动进行最优化标定的，这些流动包括平面槽道流、圆管流、轴向旋转管流、充分发展弯曲槽道流和撞击射流。北京大学的黄于宁和中科院研究生院的马晖扬教授引入Jaumann导数，因而考虑了湍流量的历史效应，在并没有使用大量流动标定的情形下，构造出了cubic HM模型，其通用性与CLS相当。
NLEVM几乎全部是两方程模型(如k-ε)，在两方程极限下，NLEVM只能揭示有限的雷诺应力各向异性，为进一步提高NLEVM的近壁性能，Craft等引入了雷诺应力各向异性张量第二不变量A2的输运方程，很好地区分开了3个雷诺正应力分量，但模型实现困难度和计算量由此大大增加。最后必需指出的是，虽然NLEVM性能良好，普适性几乎与RSM持平，但仍存在一定的数值刚性，不易启动，最好结合壁函数进行使用。
4 转捩模型
随着航空航天的发展，工程界对转捩预测的需求十分迫切，不幸的是这一直是CFD的巨大缺陷。工程上较为流行的做法是引入间歇因子来描述转捩过程中存在的间歇现象，目前己经出现了一些求解间歇因子输运方程的工程转捩模型，例如，清华大学的符松等以及德国CFX的Menter等都发展出了一些有效的转捩模型，但是关于模型中参数取值的全面报道很少。由于转捩模型的构造从技术层面己经脱离了RANS模化的范畴，在此不做展开讨论，然而幸运地是，RANS输运模型能够反映一定的历史和非局部效应，并且引入了入口边界湍流度的因素，因而能够展现出一定的转捩行为。研究表明，对6个雷诺应力都能较好捕捉的NLEVM更是具有预测转捩的巨大潜力.
5 DES及SAS方法
即使是性能趋近于RSM的NLEVM，本构关系的张量表述仅仅是雷诺应力及平均速度梯度的运动学依赖关系，任何流体动力学的影响只能(间接地)通过模型系数的确定过程和选取的尺度方程来反映。人们己经逐渐发现，一旦数值模拟的流动出现了非定常现象，传统的RANS的涡黏性就会被高估，抹去掉重要的涡结构，表明RANS长度尺度的确存在缺陷。为了准确预测非定常湍流，21世纪初兴起了RANS/LES混合方法，这是湍流模型理论的又一重大进展。这种做法最早要追溯到1997年Spalart等提出的DES (detached eddy simulation)方法，整场还是求解湍流模型的输运方程，仅仅将湍流模型中表长度尺度的量表述为原长度尺度和网格间距的函数，计算程序只需作少许修改，就能使得边界层内仍然受湍流模型的控制，在远离壁面区域达到类似LES的滤波效果。DES等RANS/LES混合方法对传统RANS感到棘手的大尺度分离问题特别有效，其网格需求量远小于理想的LES，仅略大于三维的RANS，并且对于耗散大的数值格式也能够给出令人满意的结果，因此是一种完全面向工程实际的方法，早在2002年就被成功运用于F-15E, F-16, C130等整机的数值模拟。RANS/LES具有综上所述的种种
魅力，自问世起就受到国内外湍流研究界的广泛关注，引领了RANS/LES混合的研究热潮。
DES提出的初衷是为了改进RANS对非定常大尺度分离湍流的模拟，但是由于RANS和LES的界面位置是由网格的最大间距和网格点到壁面的距离关系决定，当流向和展向网格充分加密时，会使界面向边界层内移动，RANS区域被强行激活成LES区域，当地的模化雷诺应力减小而当地脉动没有被充分激发。结果是雷诺应力提供不足，出现了模化应力不足(modeled stress depletion)缺陷，导致了严重的速度型偏离对数律(log layer mis-match)现象或者非物理的分离，因此不适合“稳态”湍流的计算，如平板边界层，槽道流动等。2005年Menter在湍流模型中引入能够刻画当地流动拓扑的von Karman长度尺度(Lvk)作为湍流模型的第二长度尺度，而不是使用LES的滤波尺度，由此导出尺度自适应模拟(scale adaptive simulation, SAS)的概念，其本质是非定常雷诺平均模拟(unsteady RANS)。研究表明对于雷诺平均的湍流边界层，Lvk能够模化惯性子区所有的湍流脉动，因此可以作为边界层内RANS的长度尺度，同时Lvk在非稳态区域能够依据当地网格分辨的湍流涡动态地调整RANS的长度尺度，从而自边界层的惯性子区出发，直到远离壁面的非稳态区域，SAS自然克服了RANS/LES交界面问题，这是一个极具吸引力和潜力的概念。目前文献中可见的只有两方程Menter-SAS模型，2009年北京航空航天大学的徐晶磊和阎超构造出了一个一方程SAS模型—XY—SAS，此模型的计算量显著小于Menter-SAS模型，同时稳定性要好于Menter--SAS模型。图2给出了对Re=3900的大尺度分离圆柱绕流的计算结果, XY-SAS的压力分布结果明显优于RANS，计算精度与DES相当。最近的评估表明，无论是失稳还是稳态流动，此模型能够进一步提高传统RANS/LES混合方法预测大尺度分离流动以及含压力梯度边界层的精度，同时能够在一定程度上缓解曲率、旋转效应。因此，若以之替代RSM和NLEVM中的长度尺度，将能有效提升这些模型的性能。
6 小结与展望
今天的CFD绝大多数是基于RANS方程，其核心内容是湍流模型，但目前不存在普适的优秀湍流模型，这是CFD的一个瓶颈难题，一直困扰着CFD的发展。大量的实践表明，尽管广受欢迎的RANS方法对附着流动和一些小分离流动给出了精确的预估，但RANS预估大分离流动是存在缺陷的。更进一步说，目前的湍流模型在模化、封闭过程中，是以壁剪切层为基础标定的，因此它无法普遍精确的描述现实中复杂的、同流动几何空间和时间历程密切相关的湍流输运特征。而目越来越多的人认为:基于RANS思想，时间和空间尺度相差很大的涡运动、脉动等混在一起，不可能找到一种普适的湍流模式，因此也就不可能正确模拟自然界最普遍的湍流流动。
转捩问题是湍流模化中的另一个大问题，为了可靠预测转捩，引入多少来流信息才能足够，需要选取哪些来流参数体现来流信息，从层流到湍流这些信息演化和发展的机制是什么，仍然是需要解决的难题。
参考文献
[1] Rumsey C L, Rivers S M, Morrison J H. Study of CFD variation on transport configurations from the second Drag-Prediction workshop. AIAA paper, 2004-394, 2004
[2] Gatski T B, Jongen T. Nonlinear eddy viscosity and al-gebraic stress models for solving complex turbulent flows. Progress in Aerospace Sciences, 2000, 36: 655-682
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[5] Baldwin B, Loxmax H. Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent flow. AIAA paper, 1978-257, 1978
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