国内非线性动力学近期研究进展与展望

国内非线性动力学近期研究进展与展望 朱位秋 (浙江大学力学系，杭州 310027) 近20年来，国内一般力学（动力学、振动与控制）界许多学者从事确定性与随机非线性系统动力学与控制研究，取得了许多创新性成果。“随机激励的耗散的哈密顿系统理论”与“复杂非线性系统的某些动力学理论与应用”分别于2002年与2003年获得国家自然科学奖二等奖。本报告主要介绍这两方面的研究成果，并对今后非线性动力学与控制的研究提出一些看法。 在确定性非线性系统动力学方面，陈予恕教授与Langford教授一起在国际上首次提出了求非线性周期分岔解的理论方法，被国际同行称为C-L方法，成功地统一了以往文献中关于非线性参激系统分岔研究中似乎矛盾的结果，建立起系统分岔解的拓扑结构和参数间的全面联系，突破了非线性振动理论发展中的一个瓶颈。陆启韶教授研究组基于有限时间稳定性概念，建立起时变非线性振动系统分岔方程的线性近似定理和V函数定理，提出了定性地研究时变参数系统分岔问题的量级平衡和线性近似技巧；研究了多种时滞非线性振动系统平衡解的稳定性，用解析方法分析了时滞量与增益系数对线性化方法特征根分布的影响、以及Hopf分岔和高余维分岔等。徐健学教授研究组率先揭示了高维系统多吸引子的吸引域，提出偏序集图论广义胞映射自循环集对应定理和胞参照点映射法，揭示了常微分方程激变乃由混沌吸引子与混沌鞍碰撞引发，发现Wada分形吸引域生灭机制及其激变不确定性，以及筛形吸引域孤立值分岔，揭示了动力系统不完全规范形和全局分岔过渡区，系统地发展了非线性动力学全局分析理论。陈予恕、陆启韶、张文等教授建立了转子系统典型故障（油膜振荡、碰摩等）的非线性动力学模型，从理论上研究了大型旋转机械低频亚谐振动和碰摩振动的失稳机理、特点及分岔；分析了一些重大振动故障发生、发展及破坏过程，提出了轴系支撑内共振综合治理等技术，解决了十余座发电厂发电机组的疑难振动问题，取得了3亿多元经济效益。此外，其他学者也有不少显著的成果。 在随机非线性系统动力学方面，朱位秋教授研究组将非线性随机动力学的研究从拉格朗日体系转为哈密顿体系，将非线性随机动力学系统表示成随机激励的耗散的哈密顿系统，并按相应哈密顿系统的可积性与共振性将系统分成不可积、可积非共振、可积共振、部分可积非共振、部分可积共振五类，在国际上首次提出与发展了随机激励的耗散的哈密顿系统理论，得到了四类能量非等分精确平稳解，打破了60余年来一直只有能量等分精确平稳解的局面；提出与发展了等效非线性系统法与拟哈密顿系统随机平均法；提出了在随机平均方程基础上计算最大李亚普诺夫指数的新方法；提出与发展了分别以响应最小、稳定性与可靠度最大为目标的非线性随机最优控制理论方法。上述系统原创性成果构成一个非线性随机动力学与控制的哈密顿理论体系框架，为解决科学与工程中极为困难的多自由度强非线性系统的随机响应、随机稳定性与分岔、可靠性及控制问题提供了一整套崭新而有效的理论方法。 今后非线性动力学研究的重点应是在确定性与（或）随机激励下复杂（多自由度强非线性、多稳态、时变、时滞、非光滑等）非线性系统与生物、生态、信息、金融、经济等领域中的非线性系统的动力学与控制问题。