什么是包络分析？

来源：模态空间 作者：谭祥军

对于滚动轴承早期故障的检测和诊断而言，包络分析已经成为振动信号主要的处理技术之一。它是由美国机械技术公司于上世纪70年代早期开发出来的，最初称为高频共振技术。它也有很多其他名称，如幅值调制解调、共振解调分析、窄带包络分析，而称之为包络分析似乎更受欢迎。包络信号的计算可用于稳态信号、非稳态信号以及瞬态信号。

包络分析的基础是基于滚动轴承的一个局部缺陷每次在受载荷作用下与轴承其他表面接触时，总是会产生振动冲击。这个冲击作用时间极短，远小于相邻两个冲击之间的时间间隔，因此，它的能量将分布在极宽的频率范围内。结果是它将激起轴承各部件和周围结构的固有频率。这个激励是重复的，因为故障缺陷与其他接触面的接触是周期性的。冲击出现的频率也称为轴承故障特征频率。人们经常认为共振受故障特征频率的幅值调制，这样就不能检测到受共振激励的故障存在，也不能诊断出轴承出现故障的部件。而包络分析为提取出周期激励或共振中的幅值调制提供了手段。

计算窄带包络曲线的经典方法是使用模拟电路对模拟振动信号进行带通滤波，围绕结构的共振频率进行滤波，然后使用半波或全波整流，接下来再用平滑电路去恢复近似的包络信号。市场上可用的模拟电路包络分析通常是个黑匣子。

包络分析的困难之一是如何确定最佳的频率范围进行分析。市场上绝大多数可用的模拟电路包络分析设备都有许多固定的频率范围可用。这些固定的频率范围可能包括，也可能不包括由轴承缺陷激起的结构共振频率。通常，频谱比较技术，如常百分比带宽频谱，可用于去确定这些频率范围。如果幅值有明显的增加（如6dB），那么这个频带是包络分析潜在的候选频带。对于复杂的旋转机械，如直升机的齿轮箱，在一些更高齿轮啮合谐频之间，这些频率是隔开的。当精确地指明滤波频带时，包络分析是有效的。然而不幸的是，模拟包络分析不能轻易满足这些要求。

进一步调查模拟包络分析（带通滤波之后进行整流，然后是平滑）的一个非常有用的近似方法，即使用平方操作代替整流，通过低通滤波器代表平滑电路，这个方法在数学上很容易实现（这也称作为平方解调）。假设带通滤波之后的振动信号包含N个频率成分，那么，这个信号在时域上可以写成

其中，ω_i是滤波后的信号中第i个幅值为a_i，相位为φ_i的频率成分。平方以后，这个信号可以写成

展开上式之后，得

可以看出，平方之后由原始的频率成分产生了和频与差频。和频为(ω_i+ω_j)，而差频是(ω_i-ω_j)。平方之后，低通滤波这个信号，滤掉了高频的和频项，保留了低频的差频项，这个步骤类似于平滑处理。最终的包络信号为

应该注意到原始频谱图中频率间隔相同的所有对谱线在包络信号中只给出了一个单频成分。而原始的振动信号可能具有相对高的频率成分，但相应的包络信号只包含低频成分。

接下来将举例说明这个处理过程。考虑一个振动信号包含随机噪声和三个频率成分，分别为1320Hz、2048Hz和2242Hz，采样频率为12800Hz，带通滤波1280~2560Hz后的频谱如图1所示。

图1 原始信号的频谱

滤波后的信号包含三个频率成分，对它进行平方后的频谱将包含这三个频率成分的和频与差频，如图2所示。从图中可以看出，和频分别各个频率成分的2倍频和彼此之间的代数和，即为2640Hz、3368Hz、3562Hz、4096Hz、4290Hz和4484Hz，而差频彼此之间的代数差，即为0Hz，194Hz、728Hz和922Hz。如上面讨论的一样，对平方后的信号进行低通滤波可以移动和频成分，仅保留差频成分，而这恰恰是包络信号。

图2 原始信号平方后的频谱

随着信号处理技术的发展，逐渐使用数字信号处理技术代替了模拟电路包络分析，就是以希尔伯特变换为基础的包络分析，因而，也称为希尔伯特-包络分析。此时的解析信号是一个复值的时域信号，有实部与虚部，而虚部是由实部经希尔伯特变换得到的。假设原始的时域信号为a(t)，经希尔伯特变换后的信号为

H表示希尔伯特变换，那么，解析信号定义为

j表示复数符号。希尔伯特变换没有改变信号中的独立变量，因而同一个域的结果与原始信号相同。希尔伯特变换只是在时域将信号的相位移动了90度。因此，可使用傅里叶变换计算希尔伯特变换，通过对正频率成分乘以-j（相位移动-90度）；对负频率成分乘以+j（相位移动90度）实现。这就为计算解析信号提供了非常便捷的计算方法，因为通常信号中的负频率是0，正频率的幅值加倍，而DC项保持不变。时域信号通过傅里叶变换到频域，可计算得到解析信号，设置负频率为0，正频率幅值加倍，然后逆变换到时域。

对于复数而言，可以用幅值和相位写成复指数形式，因此，解析信号可以表示成复指数形式

其中幅值为

相位为

一个普通的调制信号可以描述成解析信号的实部，解析信号的幅值表示幅值调制函数（包括DC偏置），也就是信号的包络部分。解析信号的相位表示相位调制。因此，解析信号为获得信号的幅值和相位调制提供了一种便捷的方法。

可用一个简单的例子来帮助理解使用解析信号去计算幅值调制或包络函数和相位调制。如果实际的时域信号是用频率为ω₀的余弦函数表示，那么希尔伯特变换可以用正弦函数来表示，分别为

按上述的理论，幅值调制或包络曲线的幅值为单位幅值，相应的相位将随时间按ω₀t线性增加，相位曲线的斜率代表频率。图3给出了相应的解析信号是围绕时间轴前行的螺旋线，如图3所示，复值时域信号的幅值或包络是单位幅值，相位每个周期线性增加2π。

图3 余弦信号对应的解析信号

一个模拟的实例可用于说明包络分析可获得时域信号幅值调制的包络曲线。一个频率为5kHz，幅值为1的余弦信号为载波信号，显示0.01s的时域信号如图4a所示。图4b为频率为500Hz的调制信号，调制载波信号的50%，相应的调制后的信号如图4c所示。如同上面讨论的，两种方法都可得到信号的包络曲线，首先使用解析信号，然后使用信号的平方去产生和频与差频，接着使用低通滤波去移除高频的和频成分。图4d显示了使用希尔伯特-包络分析从图4c中的已调信号中获得的幅值调制的包络曲线，图4e显示的是使用平方和低通滤波方法获得的幅值调制的包络曲线，纵轴尺度有所调整。可以看出，除了平方处理在起始部分之外，两种方法都精确的获得了原始的调制信号的波形（图4b）。

图4 幅值调制的包络实例

参考：

1.   Ian Howard, A Review of Rolling Element Bearing Vibration "Detection, Diagnosis and Prognosis"