弹性力学基本方程及其张量表达（一）

一：平面问题

01 设应力为x，y的线性函数（即二阶微分等于0）

02 平衡方程（平衡微分方程）

应力与体力的关系：

03 设位移为x，y的线性函数（即二阶微分等于0）

04 几何方程（几何微分方程）

应变与位移的关系：

05 物理方程（非微分方程）

应力与应变的关系：

06 边界条件

位移边界条件：

应力边界条件：

07 用位移表示的平衡微分方程

由物理方程

可得，

将几何方程代入，可得，

代入到平衡方程，可得用位移表示的平衡微分方程：

08 用位移表示的应力边界条件

09 用应变表示的相容方程

由几何方程

可得，

10 用应力表示的相容方程

将物理方程代入到用应变表示的相容方程，可得

将平衡方程代入，可得，

11 位移边界条件一般无法转为应力边界条件

12 艾里应力函数（平面问题的应力函数）

假设体力为常量，

平衡方程：

相容方程：

求解平衡方程的通解（特解+齐次方程的通解）：

无论艾里应力函数是什么样的，应力分量总能满足平衡方程。

13 用应力函数表示的相容方程

14 逆解法

首先假设满足相容方程的应力函数；然后求出应力分量；最后校核应力分量满足应力边界条件。

15 半逆解法

首先假设满足应力边界条件的部分或全部应力分量；然后推出应力函数；最后校核应力函数满足相容方程，以及其它应力分量满足应力边界条件。

16 附问

不管是逆解法还是半逆解法，都暗示着试探的含义。所以为什么没有正解法！！！

二：空间问题（下一篇）