弹性力学平面问题
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我们将通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限单元法的表达格式。最小位能原理的未知场变量是位移。以结点位移为基本未知量、并基于最小位能原理建立的有限单元称为位移元，它是有限单元法中最常用的单元，也是本书中主要讨论的单元。
由于三角形单元是有限单元法发展过程中最基本的一种单元，格式简单，且具有广泛的应用性，本节的讨论中只限于这种单元。通过它阐明如何选取单元的近似位移模式，以及如何建立有限元的求解方程。
一、单元位移模式及插值函数
由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个三维域离散成有限个三角形单元，如图1所示。在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将越精确。
典型的3结点三角形单元结点编码i,j,m，以逆时针方向编码为正向。每个结点有2个位移分量如图2所示
每个单元有6个结点位移即6个结点自由度
1.单元的位移模式及插值函数
在有限单元法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取应由低次到高次。
3结点三角形单元位移模式选取一次多项式
单元内的位移是坐标x,y的线性函数。β1~β6是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。在（1）的1式中代入结点I的坐标（xi,yi）可得到结点I在x方向的位移ui.
N称为插值函数矩阵或形函数矩阵。
在结点上插值函数的值有
即有Ni＝（xi,yi）=1,Ni(xj,yj)=Ni(xm,ym)=0也就是说在I结点上Ni＝1，在j,m结点上Ni＝0。由（7）式可得当x=xi,y=yi即在结点I，应有u=ui，因此也必然要求Ni＝1，Nj＝Nm＝0。其他两个形函数也具有同样的性质。
(2)在单元中任一点各插值函数之和应等于1。即
3结点单元的应变矩阵是