11，comsol求解谐振子方程

在上周合成金纳米锥，然后去测吸收谱时，我测得的吸收谱如下

这里不想谈为何金种一样但谱线各不相同，合成金纳米颗粒是个技术活，也是运气活。本文着重想谈的是：为何吸收峰是类似高斯型的？它不是一个方形或者三角形的，而偏偏是类似圆润的高斯型，能够从数学的角度给出解释吗？

答案是当然能，这里就需要引入谐振子模型来回答这个问题。

在实际实验中，金纳米颗粒内部有非常多的可自由移动的电子，当外来的光场激发金纳米颗粒后，自由电子会上下来回振荡，如下图

红色箭头表示入射平面光的电场矢量E的指向，金纳米球表面的红色表示正电荷，蓝色表示负电荷，可以看到负电荷倾向于往E所指向的方向的反方向跑，这一点与电磁学所学相符。

在一段时间内，电场指向上下变化了多次，电荷也上下随之振荡多次，因此，提出以下模型：

假设有一根弹簧拉着一个球（球就是一个电子），定义弹簧不拉伸也不压缩的位置为坐标原点，初始时刻弹簧处于拉伸状态，即球位于x轴正方向上某一点。然后松手，让球被弹簧拉回去，研究球的位置的x值与时间的关系。

这个问题可以分为三类

1，理想谐振子：地面对球没有摩擦力，球在x方向上只有弹簧力

2，阻尼谐振子：地面对球有摩擦力，阻碍了球运动，这样球在x方向上就有弹簧力和摩擦阻力

3，阻尼谐振子+周期性外力：地面不仅对球有摩擦力，球在运动过程中还受到一个沿着x方向随时间做周期性变化的力，这样球在x方向上就有弹簧力，摩擦阻力，周期性外力

 1，理想谐振子

弹簧力为-kx,k为胡克系数，x为球的位置。当x为正时，弹簧力显然为指向x轴负方向的拉力，所以还有一个负号。根据牛顿第二定律 F_合=ma，可写出下式

 

上图也有一个偏微分方程dx^2/dt^2+k/m*x=0。还认识它吗？不要被它吓住了，翻翻高等数学上册第七章第七节 常系数齐次线性微分方程，就有答案了。但是本文不想讨论数学解方程，我想说的，有了comsol，直接输入偏微分方程，让comsol来解方程就轻松多了。

这里m我取1kg，k取1N/m，球的初始坐标x0=1m。求得球的x坐标与时间关系如下

可以看到，随着时间变化，x在-1到1之间来回振荡。

2，阻尼谐振子

在理想谐振子中假定地面是光滑无摩擦力的，在实际中地面不可能光滑，假定地面存在摩擦阻力f_阻，且f_阻与小球速度呈正比，正比的系数为gamma,则f_阻=gamma*(dx/dt)。有以下方程

输入偏微分方程到comsol中分别求解出如下图像

3，阻尼谐振子+周期性外力

这里的周期性外力就是最初的入射光场给金颗粒电子的力，是这三个谐振子模型中最接近真实情况的模型。请注意，本模型不考虑电子移动产生的辐射电场对入射电场施加的周期性外力的影响。

当omega0^2>2*beta^2时，外加力的角频率omega=sqrt(omega0^2-2*beta^2)时，振幅（小球能达到的最远的位置）达到最大值

如下图

可以看到稳定后振幅会大于初始位置x0(x0=1m)

当omega0^2<2*beta^2时，振幅随外加力角频率增大而减小，如下图

4，近似拟合吸收光谱

改变3中外加力的角频率omega（需要满足omega0^2>2*beta^2），可以绘制出不同角频率的力施加后，小球能到达的最远的位置是多少。

如下图，横坐标是外加力角频率，纵坐标是小球能到达的最远位置

也许有一点不像吸收光谱，增大阻尼beta试试

要想与实验测得的吸收光谱拟合的非常好，得查文献找对应的材料参数，然后微调参数拟合，但我暂时不想这么搞，本文的目的是用数学公式取解释吸收光谱为什么是近似高斯型，而不是方形或三角形，或者其他形状。答案在重复一遍，就是下图（注意，上面所有的推导和下面这个公式，都是一种近似，有许多细节没考虑，比如电子移动产生的电场会对入射光场有干扰，造成能量辐射损失）