Netwon.docx

Netwon-Raphson方法:

首先要明确什么问题是非线性问题，我们先回到有限元方法的最基本的方程：

其中K为系数矩阵，u为自由度（未知），Fa为荷载

如果K是u的函数（即与自由度有关），或者与u的导数有关，则此问题为非线性问题。

在求解非线性方程时，最常用的是Newton-Raphson迭代求解方法，其方程如下：

其中Kt为雅克比矩阵，i为迭代序号，Fnr是恢复荷载，与单元内力有关

Kt和Fnr通过ui的值来计算。下图为通过N-R方法进行迭代的过程，当Fnr与Fa足够接近时计算结束。

上面是说的最简单的N-R方法，但是如果研究问题与载荷加载路径有关（塑性问题），此时的Fnr就不是一直不断的增加了，而是逐渐的增大，这样通过时间步内迭代来更接近加载路径。这种方法又叫incremental N-R方法，这种方法的K矩阵在每次迭代时都会重新计算。此时的第一个方程会变为如下形式

其中n为时间步，i为迭代步。以上方法就是完全的N-R方法（Full N-R），可以用在静态或瞬态问题。

另外，如果每次迭代K矩阵可以减少重新计算的次数，例如在静态问题尽在第一个时间步结束后重新计算K矩阵，此方法为modified N-R；

如果每次迭代后都不修改K矩阵就是initial-stiffness N-R方法。

这两种方法与full N-R相比，数学理论上要收敛的更慢，但是能减少矩阵的重组计算和求逆计算。

在APDL中应用此方法时，通NTOPT命令来选择

NROPT, Option1, Option2, Optval

Option1：

AUTO     —      Let the program choose the option (default).

FULL       — Use full Newton-Raphson.

MODI     — Use modified Newton-Raphson.

INIT        — Use the previously computed matrix (initial-stiffness).

UNSYM  — unsyUse full Newton-Raphson with unsymmetric matrices of elements where the unsymmetric option exists.

收敛判断：

此部分结合我做的网箱计算来讲解。

从上图的计算中可以看到6条曲线。其中F CRIT, U CRIT, M CRIT 分别为力、位移、力矩的收敛判断标准。

F L2、U INF、M L2分别为力向量的2-范数、位移向量的最大范数、力矩向量的2-范数

其中的F就是牛-拉方程中等号右端项

窗口中坐标轴水平方向为时间（计算进程），纵坐标为相应的数值。以力为例，如果不平衡力的2范数(F L2)高于不平衡力的收敛容差(F CRIT)，说明没有收敛，要继续计算；如果(F L2) 小于(F CRIT)，在图中表现为(F L2)和(F CRIT)两条曲线相交，则说明该步计算已经收敛，可以计算下一个荷载步。

收敛准则可以通过CNVTOL命令来进行选择。

补充有关范数的定义：

设R为列向量，

则最大范数为max|Ri|，向量中的最大值

L1范数为sum（|Ri|），向量的绝对值的和

L2范数为sqrt（sum(Ri^2)），向量的平方和的平方根（SRSS）