结构刚度矩阵的特点

由前面的讨论可知结构的刚度矩阵K是由单元刚度矩阵集合而成，它与单元刚度矩阵类同也具有明显的物理意义。有限元的求解方程(32)式是结构离散后每个结点的平衡方程。结构刚度矩阵K的任一元素K_ij的物理意义是：结构第j个结点位移为单位值而其它结点位移皆为零时，需在第i个结点位移方向上施加的结点力的大小。与单元不同之处在于结构是单元的集合体，每个单元都对结构起一定的作用。由于单元刚度矩阵是对称和奇异的，由它们集成的结构刚度矩阵K也是对称和奇异的，也就是说结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件才能消除K的奇异性，以便由(32)式求得结点位移。

连续体离散为有限个单元体，由图1可见，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，这就是刚度矩阵的大型和稀疏性。只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即具有带状分布的特点。如图7所示。

综上所述，有限单元法最后建立的方程组的大型系数矩阵K具有以下性质:(1)对称性（2)奇异性;(3)稀疏性；(4)非零元素呈带状分布。由于方程组的大型，在求解方程时，除引入位移边界条件使奇异性消失外，其他特点都必须在解方程中予以充分的考虑和利用，以提高解题的效率。"
七、实施步骤与注意事项　

利用上面讨论的三角形常应变单元解平面问题，其具体步骤可归纳如下:

1)将要计算的弹性体划分成三角形单元。对结点进行编号，列出结点坐标作为输入信息。

(2)对单元进行编号，列出单元三个结点的号码作为输入信息。

(3)计算载荷的等效结点力，把等效结点力作为输入信息。

(4)按照(6)式计算各单元的常数b_i、c_i、b_j、c_j、b_m、c_m，再按照(4)计算2A。

(5)按照(35)式计算各单元的刚度矩阵。

(6)形成整体刚度矩阵。

(7)处理约束及消除刚体位移。

(8)解线性方程组(32)式，求结点位移。

(9)按照(20)式计算应力矩阵，再按(18)式计算单元应力。根据需要计算主应力和主方向。

通常步骤(4)至(9)均由计算机来完成，而步骤(1)至(3)可以用手工完成，也可由计算机来完成。在实现以上各步骤时，为了达到一定的计算精度，节约计算机存储量，缩短计算机运行时间等目的，还需要注意下列事项。

1、利用对称性

在划分单元前要研究一下，计算对象是否有对称变形或反对称变形存在，从而确定是否需要取整个物体，还是取部分物体作为计算模型。例如图8a所示受纯弯曲的梁，它对于x,y轴都对称，而载荷对于y轴对称，对于x轴反对称。可见，应力和应变亦将具有同样的对称和反对称特性，所以我们只需计算1/4梁就行了。分离体如图8b所示。对于删去部分结构的影响可以这样考虑：对于处于y轴对称面内各结点的x方向位移和y方向分布力都应等于零，而对于处在x轴反对称面上的各结点的x方向位移和y方向分布力亦都应等于零。这些条件相当于安置如图8b中的约束。图中o点上安置y方向的约束是为了消除刚体位移而设置的。又例如在分析图9中所承受均匀压力的厚壁圆筒时，根据结构和载荷轴对称的性质，我们可以取出一个小扇形(图中阴影部分)进行计算。扇形的两侧边上应加上约束，以消除周向位移和沿径向的分布力。(其中CD边界上的约束和坐标方向不一致，将给计算带来一定麻烦。此问题如采用下一节的轴对称有限元进行分析，将方便得多。)

　

　

　

　

　

　

　

2、结点的选择和单元的划分

　

结点的布置和单元的划分是互相联系的。通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取作为结点。如果物体的厚度有突变或者物体由不同的材料组成时，在布置结点时要注意，不要把厚度不同或材料不同的区域划在同一个单元里。至于结点的多少和分布的疏密、亦即单元的大小，要根据计算精度和电子计算机的容量等综合考虑，从结果精度来看，当然划分得越细越好，但是，这样做要增加准备工作和电子计算机的运算时间，甚至超出计算机的容量。因此，在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。故在划分单元时，对应力变化急剧的区域要分得细一些，应力变化平缓的区域可以分得粗一些。此时，还要注意单元的三条边的长度不要悬殊太大，以免在计算中出现过大的误差。

　

3．应力计算结果的整理

计算结果主要包括位移和应力两个方面。在位移方面一般无需进行什么整理工作。下面仅针对应力结果的整理，介绍一些概念。

三角形常应变单元也是常应力单元。算出的应力，通常都作为单元形心处的应力。为了由计算结果推出弹性体内某一点接近实际的应力值，通常可采用绕结点平均法或两单元平均法

所谓绕结点平均法，就是把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力，为了使由这样的平均得来的应力能够较好地表示结点处的实际应力，环绕该结点的各个单元的面积不应相差太大。

绕结点平均法计算出来的结果，在内结点处较好，而在边界结点处则可能很差。因此，边结点处的应力不宜直接由单元应力平均来获得，而应由内结点的应力外推算出来。

所谓两单元平均法，就是把两个相邻单元（两单元的面积不宜相差太大）中的常应力加以平均，用来表示公共边界中点处的应力。